Absolutkonvexe Menge

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Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.

Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle mit und alle stets gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

Beziehung zu Halbnormen

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Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert eine Halbnorm auf E. Es gilt

.

Man nennt auch das Minkowski-Funktional zu U.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.

Absolutkonvexe Hülle

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Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle von M. Es gilt