Inverse Normalverteilung

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Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift und Streuungskoeffizient ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus invers normalverteilt mit den Parametern . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt.

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

.

Die Varianz ergibt sich analog zu

.

Standardabweichung

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Daraus erhält man für die Standardabweichung

Variationskoeffizient

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Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

.

Die Schiefe ergibt sich zu

.

Wölbung (Kurtosis)

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Die Wölbung ergibt sich zu

.

Die Exzess-Kurtosis ist

.

Charakteristische Funktion

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Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Momenterzeugende Funktion

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Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

.

Reproduzierbarkeit

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Sind Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern und , dann ist die Größe wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern und .