Überdeckungssatz von Vitali

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Der Überdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Maßtheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen-, Flächen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Der Satz ist ein Hilfsmittel für den Beweis, dass für das Lebesgue-Stieltjes-Maß die Radon-Nikodým-Ableitung (bezüglich des Borel-Maßes) und die gewöhnliche Ableitung übereinstimmen. Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt, der ihn 1908 bewies.

Rahmenbedingungen

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Es bezeichnen das Lebesgue-Maß und das äußere Lebesgue-Maß, also das äußere Maß, das von dem Lebesgueschen Prämaß erzeugt wird. Eine Mengenfamilie von offenen, abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen mit heißt eine Vitali-Überdeckung einer (nicht notwendigerweise messbaren) Menge , wenn für alle und alle ein existiert, so dass und .

Ist für eine beliebige Menge mit eine Vitali-Überdeckung gegeben, so gibt es für jedes eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen in , so dass

gilt.