Äquivarianter Indexsatz

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In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesene Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung, die die Berechnung des äquivarianten Indexes von Dirac-Operatoren aus dem -Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht. Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.

Definition des äquivarianten Index

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Sei ein Bündel von Clifford-Moduln mit -Gradierung, und eine kompakte Lie-Gruppe, die auf und wirkt, so dass äquivariant ist. Auf habe man einen mit der Clifford-Wirkung kompatiblen -invarianten Zusammenhang. Sei der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen .

Dann kommutiert mit der -Wirkung und der Kern ist eine endlich-dimensionale Darstellung von . Der äquivariante Index von ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur

Für erhält man den Fredholm-Index von .

Atiyah-Bott-Fixpunktformel

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Als eine Anwendung der Atiyah-Bott-Fixpunktformel erhält man für ein -gradiertes Hermitesches Vektorbündel über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit : Wenn ein Differentialoperator erster Ordnung auf den Schnitten ist mit und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator, und wenn die Wirkung von auf nur isolierte nicht-ausgeartete Fixpunkte hat und sich zu einer mit kommutierenden Bündelabbildung von heben lässt, dann ist

mit .

Asymptotische Entwicklung

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Sei der Integralkern des Operators und . Dann hat für eine asymptotische Entwicklung

mit . Das Symbol von ist

,

wobei das Normalenbündel der Fixpunktmenge bezeichnet.

Aussage des äquivarianten Indexsatzes

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Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als

.

Hierbei bezeichnet das Â-Geschlecht der Fixpunktmenge , den äquivarianten Chern-Charakter und das Berezin-Integral.

  • Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag