Benjamini-Schramm-Konvergenz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik ist Benjamini-Schramm-Konvergenz oder kurz BS-Konvergenz ein ursprünglich aus der Graphentheorie stammender und inzwischen auch in Geometrie und Topologie Anwendung findender Begriff.

Die Idee ist, unendliche Graphen oder nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit durch endliche Graphen oder kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit zu approximieren.

Benjamini-Schramm-Konvergenz von Graphen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Definition wurde von Itai Benjamini und Oded Schramm in die Graphentheorie eingeführt.[1]

Zu jedem Graphen betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge der Wurzelgraphen, welches der Gleichverteilung auf der Menge der Wurzelgraphen für Knoten von entspricht. (Insbesondere hat seinen Träger auf der Menge der Wurzelgraphen, deren zugrundeliegender Graph ist.)

Auf einem Graphen kann man eine Metrik dadurch definieren, dass jeder Kante die Länge 1 zugeordnet wird. Für einen Wurzelgraphen und bezeichnet den Untergraphen, der von allen Knoten aufgespannt wird, die von den Abstand kleiner als haben.

Eine Folge von Graphen beschränkter Valenz BS-konvergiert gegen einen Graph , wenn für jeden Wurzelgraphen und jedes die Wahrscheinlichkeit, dass zu isomorph ist, konvergiert gegen die Wahrscheinlichkeit, dass zu isomorph ist.

Die Kreisgraphen , , und

Die Folge der Kreisgraphen BS-konvergiert gegen den Cayley-Graphen der Gruppe der ganzen Zahlen, also den unendlichen linearen Graphen .

Benjamini-Schramm-Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir versehen die Menge der punktierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei eine (nicht-kompakte) Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine Folge von Gittern in der Isometrie-Gruppe .

Man sagt, dass die Folge Riemannscher Mannigfaltigkeiten gegen im Sinne von Benjamini-Schramm konvergiert, wenn für alle die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel vom Radius um einen zufälligen Punkt in isometrisch zur entsprechenden Kugel vom Radius in ist, für gegen konvergiert.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass für jedes

gilt, wobei den -dünnen Teil von beziehungsweise den Injektivitätsradius bezeichnet.

Sei ein kokompaktes Gitter und eine Folge normaler Untergruppen mit . Dann ist für hinreichend große , also BS-konvergiert die Folge gegen .

Benjamini-Schramm-Konvergenz metrischer Räume

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende allgemeine Definition umfasst die beiden vorhergehenden.[2]

Wir versehen die Menge der punktierten, eigentlichen, kompakten metrischen Räume mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei ein eigentlicher, kompakter, metrischer Raum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ein genanntes Wahrscheinlichkeitsmaß auf , welches der Verteilung der gemäß auf der Menge der punktierten Räume mit entspricht. (Insbesondere hat seinen Träger auf der Menge der punktierten metrischen Räume, deren zugrundeliegender metrischer Raum ist.)

Sei eine Folge eigentlicher, kompakter, metrischer Räume mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Man sagt, dass die Folge Benjamini-Schramm-konvergiert, wenn die Folge in der Schwach-*-Topologie gegen ein Maß auf konvergiert.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Benjamini, Schramm: Recurrence of distributional limits of finite planar graphs. Electron. J. Probab. 6 (2001), Nr. 23, Project Euclid
  2. Abert, Bergeron, Biringer, Gelander, Nikolov, Raimbault, Samet: On the growth of L2-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. of Math. (2) 185 (2017), 711–790.