Darstellungsvarietät

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In der Mathematik sind Darstellungsvarietäten ein wichtiges Hilfsmittel in Gruppentheorie, Topologie und Geometrie.

Sei eine endlich erzeugte Gruppe und eine halbeinfache algebraische Lie-Gruppe. Sei eine Präsentierung von mit endlich vielen Erzeugern. Man gibt

die Struktur einer algebraischen Menge (d. h. einer nicht notwendig irreduziblen algebraischen Varietät) als

,

wobei das neutrale Element von bezeichnet und ein Homomorphismus mit dem Tupel identifiziert wird.

Es folgt aus dem Hilbertschen Basissatz, dass man die Varietät bereits durch endlich viele Gleichungen definieren kann.

Man kann zeigen, dass der Isomorphietyp der Darstellungsvarietät nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Quotientenbildung

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Die Gruppe wirkt auf durch Konjugation

.

Der Quotient ist im Allgemeinen keine Varietät, stattdessen betrachtet man oft einen etwas kleineren Quotienten, die Charaktervarietät .

Nicht-algebraische Gruppen

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Für beliebige (nicht notwendig algebraische) halbeinfache Lie-Gruppen kann man wie oben die Darstellungsvarietät als analytische Mannigfaltigkeit definieren. Der Quotientenraum ist im Allgemeinen nicht Hausdorffsch. Jedoch hat

(also die Untermannigfaltigkeit derjenigen Homomorphismen, deren Bild nicht in einer parabolischen Untergruppe liegt) eine analytische Mannigfaltigkeit als Quotienten.

Es sei ein CW-Komplex mit Fundamentalgruppe , dann entspricht jede Darstellung einem flachen Bündel

und die mittels Obstruktionstheorie definierten topologischen Invarianten der Bündel sind Invarianten der Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät.

Die erste Obstruktionsklasse

verschwindet, wenn zusammenhängend ist.

Die zweite Obstruktionsklasse

entspricht für der Euler-Klasse und für der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse .