Diagonalensatz

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Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.

Formulierung des Satzes

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Parallelogramm mit Diagonalen

Der Satz besagt folgendes:[1]

Gegeben sei ein Viereck der euklidischen Ebene.
Dann gilt:
ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen und sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

Herleitung mittels Vektorrechnung

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Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen und bestehen.

Daraus folgert man:

.

Genauso ergibt sich:

.

Dies beweist den Satz.

Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen

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Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen über kommutativen Körpern einer Charakteristik ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:[2]

Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte .
Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:
(A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:
Es sind und .[3]
(A2) Die beiden Diagonalen und schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:
Es gilt .

Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2

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Für einen kommutativen Körper der Charakteristik ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.[4]

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
  2. Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 59
  3. Für zwei Punkte ist die Verbindungsgerade.
  4. Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 60