Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

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Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.[1][2][3]

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:[4][5][6]

Gegeben seien eine endliche Menge und weiter eine Primzahl , eine natürliche Zahl sowie eine endliche Gruppe der Ordnung .[A 1]
Dabei soll vermöge der äußeren Operation auf operieren.[A 2]
Dann gelten folgende Aussagen:
(i) [A 3][A 4]
(ii) Insbesondere existiert, wenn und teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

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Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:[4][6]

Gegeben seien eine Menge und eine Gruppe , die vermöge auf operieren soll.
Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem für die durch die Bahnen auf gegebenen Partition.
Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel
.[A 5][A 6][A 7][A 8][A 9]

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

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Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:[7][8]

Gegeben seien eine Primzahl und dazu eine endliche p-Gruppe mit zugehörigem Zentrum .
Dann gilt:
(i) Besteht ein Normalteiler nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt nicht aus dem neutralen Element allein.
(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum .

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

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Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:[9]

Jede endliche p-Gruppe der Ordnung ( prim, ) hat einen Normalteiler der Ordnung .
  1. Mit bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge . Ist eine endliche Menge, so ist die Anzahl der in enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
  2. Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß .
  3. Die Teilmenge besteht aus genau den Elementen mit für alle . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
  4. Mit wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
  5. Für ein ist dabei der zugehörige Stabilisator und sein Index in .
  6. Ein ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn bzw. gilt.
  7. Die Summationsbedingung wird möglicherweise von keinem erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert .
  8. Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
  9. Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

Einzelnachweise

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  1. a b Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
  2. Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
  3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
  4. a b Meyberg, op. cit., S. 67
  5. Stroth, op. cit., S. 5
  6. a b Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
  7. Stroth, op. cit., S. 6
  8. Meyberg, op. cit., S. 68
  9. Meyberg, op. cit., S. 74–75