Gradientensystem

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In der Mathematik ist ein Gradientensystem ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, dessen rechte Seite sich als (negativer) Gradient einer Funktion schreiben lässt. Der Fluss eines Gradientensystems wird als Gradientenfluss bezeichnet.

Gradientensysteme werden in der Mathematik zum Beispiel in der Morse-Theorie verwendet. Sie haben in vieler Hinsicht entgegengesetzte Eigenschaften zu hamiltonschen Systemen, zum Beispiel sind sie nicht rekurrent.

Ein auf einer offenen Menge definiertes Differentialgleichungssystem heißt Gradientensystem, wenn sich die rechte Seite als (negativer) Gradient schreiben lässt, das Differentialgleichungssystem also von der Form

für eine differenzierbare Funktion ist. Es soll also für gelten: .

Nach dem Poincaré-Lemma ist das äquivalent dazu, dass für die Bedingung gilt.

Allgemeiner kann man auch Gradientensysteme auf riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren.

Die Lösungen eines Gradientensystems haben die folgenden Eigenschaften: