Halbeinfache algebraische Gruppe
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In der Mathematik sind halbeinfache algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper heißt halbeinfach, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- der maximale zusammenhängende auflösbare Normalteiler ist
- hat keinen nichttrivialen zusammenhängenden abelschen Normalteiler.
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Die spezielle lineare Gruppe ist halbeinfach.
- Die projektive lineare Gruppe ist halbeinfach.
- Die symplektische Gruppe ist halbeinfach.
- Nicht halbeinfach sind die allgemeine lineare Gruppe, die multiplikative Gruppe und die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.
Halbeinfache Lie-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für eine halbeinfache algebraische Gruppe über ist eine halbeinfache Lie-Gruppe.
Nicht jede halbeinfache Lie-Gruppe ist eine halbeinfache algebraische Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von .
Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Klassifikation halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist analog zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen durch Dynkin-Diagramme.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- J.E. Humphreys, „Linear algebraic groups“, Springer (1975)
- T.A. Springer, „Linear algebraic groups“, Birkhäuser (1981)
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Semi-simple algebraic group (Encyclopedia of Mathematics)