Indexsatz für Blätterungen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik ist der Indexsatz für Blätterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Sein Spezialfall für Blätterungen durch Fasern eines Faserbündels ist der Familien-Indexsatz.

Sei eine Blätterung einer Mannigfaltigkeit , mit transversalem Maß und zugehörigem Ruelle-Sullivan-Strom , und sei ein blattweise elliptischer Operator. Dann ist das Integral über den Raum der Blätter endlich (wobei jeweils die Einschränkung von auf das Blatt bezeichnet), und

,

wobei das Hauptsymbol von , den Chern-Charakter und die Todd-Klasse von bezeichnet.

Zum Beispiel erhält man für den blattweisen Hodge-Laplace-Operator, wenn den Raum der harmonischen -Formen auf bezeichnet, dass endlich ist und für die Euler-Klasse des Tangentialbündels an die Blätter gilt.

  • A. Connes: Feuilletages et algèbres d'opérateurs. Semin. Bourbaki, Vol. 1979/80, Exp. 551, Lect. Notes Math. 842, 139–155 (1981).
  • A. Connes, G. Skandalis: The longitudinal index theorem for foliations. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20, 1139–1183 (1984).