Invarianter Schätzer

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Ein invarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Invariante Schätzer zeichnen sich dadurch aus, dass sich ihr Schätzwert nicht verändert, wenn man die Daten auf gewisse Weise transformiert. Häufig verwendete Transformationen sind beispielsweise Skalierungen oder Verschiebungen.

Anwendung finden invariante Schätzer beispielsweise bei der Untersuchung der Struktur von äquivarianten Schätzern.

Gegeben sei , eine Menge von messbaren Funktionen von nach , die eine Gruppe bezüglich der Verkettung von Funktionen bildet.

Dann heißt eine messbare Funktion

ein invarianter Schätzer (bezüglich ), wenn für alle gilt:

Es sei jeweils .

Translationsinvariante Schätzer

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Wählt man als Gruppe die Translationen um entlang dem Einsvektor , also

,

so ist ein Schätzer genau dann translationsinvariant, wenn

ist. Translationsinvarianz ist beispielsweise eine Forderung, die man von Varianzschätzern verlangt, da die Varianz als Streuungsmaß nicht von Verschiebungen abhängig sein sollte.

Skalierungsinvariante Schätzer

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Wählt man als Gruppe die Skalierungen, also

so ist ein Schätzer skalierungsinvariant, wenn

ist.

Weiterführende Begriffe

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Maximalinvariante Schätzer

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Eine Verschärfung von invarianten Schätzern sind maximalinvariante Schätzer.

Ein Schätzer heißt maximalinvariant, wenn er invariant ist, und für je zwei gilt, dass genau dann

gilt, wenn es ein gibt, so dass

ist.

Bei maximalinvarianten Schätzern liegen alle Argumente, die denselben Funktionswert annehmen, also auf einer Bahn der Gruppe . Maximalinvariante Schätzer finden sich beispielsweise bei der Definition von Pitman-Schätzern.

P-fast invariante Schätzer

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Gegeben sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und sei die Menge aller -Nullmengen. Dann heißt ein -fast invarianter Schätzer, wenn für alle ein existiert, so dass

.

-fast invariante Schätzer erlauben also eine Verletzung der Invarianzeigenschaft auf einer Nullmenge.