Inversion (Diskrete Mathematik)

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In der diskreten Mathematik bezeichnet die Inversion eine Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Zahlenfolgen. Eine wichtige Klasse dieser Koordinatentransformationen ist die Binomialinversion.

Inversionsformel

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Seien und zwei Folgen von Polynomen mit . Das heißt, die Menge und die Menge bilden jeweils eine Basis des Vektorraums aller Polynome vom Grad kleinergleich . Mit Hilfe der Inversionsformel kann jedes eindeutig durch beziehungsweise jedes eindeutig durch ausgedrückt werden. Das heißt, es gibt eindeutig bestimmte Koeffizienten und mit

beziehungsweise mit

Die Koeffizienten und heißen Zusammenhangskoeffizienten. Setzt man für , dann erhält man zwei (unendlich große) Dreiecksmatrizen, die zueinander invers sind. Sei also und dann gilt . Aus diesem Grund gilt für alle Zahlenfolgen und :

Über dem Vektorraum der Polynome bis zum Grad n stellen sowohl die Monome als auch die Polynome eine Basis dar. Jedes Polynom aus der ersten Folge kann also als Linearkombination der Polynome der zweiten Folge dargestellt werden, und umgekehrt. Die Inversionsformeln dazu lauten

und

Dies ist ein Beispiel der Binomial-Inversion. Allgemein gilt für alle Familien und , dass

.
  • Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, Kap. 2.3.