Koflächenformel

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Die Koflächenformel ist ein Formel aus der geometrischen Maßtheorie, welche die Substitutionsregel der Integralrechnung für Lipschitz-stetige Funktionen und verallgemeinert. Ein Spezialfall der Koflächenformel ist der Satz von Fubini, diesen erhält man dann, wenn und eine orthogonale Projektion ist. Die analoge Formel für den Fall heißt Flächenformel.

Die Koflächenformel wurde 1959 von Herbert Federer publiziert.[1]

Koflächenformel

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Notation:

  • ,
  • ist eine Lipschitz-Funktion
  • ist das -dimensionale Hausdorff-Maß
  • ist das -dimensionale Lebesgue-Maß
  • ist die verallgemeinerte -dimensionale Jacobi-Determinante von , sie ist im Fall wie folgt definiert:

Falls , dann gilt

für jede Lebesgue-messbare Menge .[2]

Ein Korollar ist folgende Verallgemeinerung: Sei , dann ist

für jede Lebesgue-messbare Menge .[3]

  • Sei Lipschitz und , dann gilt
  • (Satz von Fubini): Für ist und falls mit eine orthogonale Projektion auf die erste Komponente ist, dann wird die Koflächenformel gerade zum Satz von Fubini.[4]

Einzelnachweise

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  1. Herbert Federer: Curvature measures. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 93, 1959, S. 418–491.
  2. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 135, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
  3. L.C. Evans und R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Hrsg.: CRC Press. 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6, S. 139.
  4. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 136, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.