Monotoner Dichtequotient

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Ein wachsender oder monotoner Dichtequotient, auch wachsender oder monotoner Likelihood-Quotient genannt, ist eine Eigenschaft einer Verteilungsklasse oder eines statistischen Modells in der mathematischen Statistik. Für Modelle mit wachsendem Dichtequotienten lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma verallgemeinern und liefert somit die Existenz gleichmäßig bester Schätzer.

Gegeben sei ein statistisches Modell mit . Des Weiteren existiere für alle die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen . Definiere

die Dichtequotientenfunktion.

Existiert nun für alle eine Statistik

,

so dass die Dichtequotientenfunktion eine monoton wachsende Funktion in ist, so heißt das statistische Modell ein Modell mit wachsendem Dichtequotienten in .

Es existiert also eine monoton wachsende Funktion , so dass

ist.

In Modellen mit monotonem Dichtequotient lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma auf einseitige Tests verallgemeinern. Dabei sind einseitige Tests von der Form

oder umgekehrt, wobei und eine vorgegebene Zahl ist. Somit existiert in diesem Fall ein gleichmäßig bester Test zu einem vorgegebenen Niveau , der auch explizit angegeben werden kann.

Eine große Verteilungsklasse mit monotonem Dichtequotient ist beispielsweise die einparametrige Exponentialfamilie.