Pell-Folge

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Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Pell Folge/Zahlen

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Die Folge ist rekursiv definiert durch:

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten (wenn man mit zu zählen beginnt):

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge mit und interpretieren:

Silberner Schnitt

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Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.

Herleitung des Zahlenwertes

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Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen:

Mit folgt:

Mit

folgt weiter: . Damit ergibt sich die quadratische Gleichung

mit den beiden Lösungen     und   .

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

Geschlossene Form der Pell-Folge

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Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

   und   .

Seien und reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

  und

die Rekursionsformeln

  und  
.

Deren Linearkombination erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten:    und    .

Eingesetzt in ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

   und  

mit den Lösungen    und  

Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:

Erzeugende Funktion der Pell-Folge

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Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius .

Herleitung der Funktion

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Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius .

Für gilt daher mit :

Reihenentwicklungen

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Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.

Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:

Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.

Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:

Pell-Primzahlen

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Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … (Folge A086383 in OEIS)

Für diese Pell-Primzahlen ist der Index von der folgende:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … (Folge A096650 in OEIS)
Beispiel 1:
Es ist und . Somit ist eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl führt.

Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:

  • Wenn eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).[1]

Pell Zahlen 2. Art / Companion Pell-Folge

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Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge mit und interpretieren:

Einzelnachweise

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  1. Comments zu OEIS A096650