Q-invariante Verteilungsklasse

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Eine Q-invariante Verteilungsklasse ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik, die sich dadurch auszeichnet, dass die in ihr enthaltenen Wahrscheinlichkeitsmaße abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von gewissen Bildmaßen. Spezialfall einer Q-invarianten Verteilungsklasse sind die Lokationsklassen und die Skalenfamilien.

Anwendung finden Q-invariante Verteilungsklassen beispielsweise bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern.

Sei eine Gruppe (bezüglich der Verkettung von Funktionen ) von messbaren Funktionen von nach .

Sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf und das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes unter der Funktion .

Dann heißt eine Q-invariante Verteilungsklasse, wenn für jedes und jedes gilt, dass

ist.

Lokationsklassen

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Wählt man und als Gruppe die Gruppe der Translationen auf , also

,

so wäre eine Lokationsklasse eine Q-invariante Verteilungsklasse, denn die Lokationsklassen entstehen genau aus der Verschiebung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes entlang der x-Achse.

Umgekehrt ist aber nicht jede Q-invariante Verteilungsklasse mit dem oben definierten eine Lokationsklasse. Die Q-invariante Verteilungsklasse könnte beispielsweise aus zwei oder mehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verschiebung hervorgegangen sein, was bei Lokationsklassen nicht möglich ist, denn diese sind immer Verschiebungen eines Maßes. Vereinigungen Q-invarianter Verteilungsklassen sind offenbar wieder Q-invariant, für Lokationsklassen gilt das nicht.

Wählt man , aber als Gruppe die Gruppe der Multiplikationen mit , also

,

dann ist für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß auf die Menge

eine Q-invariante Verteilungsklasse, die sogenannte von dem Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugte Skalenfamilie.