Der gebürtige Litauer begann seine aktive Profi-Karriere beim HC Vilnius, mit denen er in der Saison 2007/2008 im EHF-Pokal sein internationales Debüt gab. In dieser Spielzeit wurde er auch zum „Wertvollsten Spieler“ der Liga gewählt.[3] Schon in der darauf folgenden Saison wechselte er nach Wien zu den Aon Fivers Margareten, mit welchen er auch im ersten Anlauf den ÖHB-Cup gewann.[4] Nach der Meisterschaft 2011 wurde Kirveliavičius von einer Jury aus Verbands-, Vereins- und Pressevertretern zum Handballspieler der Saison 2010/11 gewählt.[5] In den folgenden Jahren gewann er mit den Margaretnern2012 und 2013 erneut den ÖHB-Cup. Im Oktober 2014 wechselte der 2,00 Meter große Rückraumspieler überraschend zur SG BBM Bietigheim in die Handball-Bundesliga.[6] Ab dem Sommer 2015 stand er beim HSC 2000 Coburg unter Vertrag.[7] Zur Saison 2018/19 wechselte er zum deutschen Zweitligisten HBW Balingen-Weilstetten.[8] Im Januar 2021 unterschrieb Kirveliavičius einen, ab der Saison 2021/22 gültigen, Vertrag beim UHK Krems.[9] Zur Saison 2023/24 wird Kirveliavičius zu den JAGS Vöslau wechseln.[10]