Satz von Dini

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

Sind ein kompakter topologischer Raum,

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

für alle natürlichen Zahlen und alle und existiert eine stetige Grenzfunktion , das heißt

für alle , so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen , das heißt

Für ein vorgegebenes setze

.

Da die Folge der punktweise gegen konvergiert, bilden die eine Überdeckung von , die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil kompakt ist, wird bereits von endlich vielen der überdeckt. Ist der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt für alle größeren Indizes . Also ist

für alle und ,

woraus die Behauptung folgt.

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel auf einfach sehen kann.