Satz von Escher

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Parkettierung der Ebene nach dem Satz von Escher (Ausschnitt)

Nach dem Satz von Escher, benannt nach dem Graphiker M. C. Escher, in dessen Aufzeichnungen sich Untersuchungen zu parkettierenden Sechsecken finden, lässt sich die Ebene mit nicht-regelmäßigen Sechsecken parkettieren.

Mathematische Aussage

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Als Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.

  • Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck und ein Punkt außerhalb von .
  • Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks , dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
  • R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks , dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.

Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.

Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.

Die Punkte , und sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten bzw. bzw. des Dreiecks . Demnach ist das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks . Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke , und gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.

Im Folgenden wird das Vieleck mit Escher-Sechseck bezeichnet.

Mögliche Formen des Escher-Sechsecks

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Je nach Lage des Punktes entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.

  • Liegt innerhalb des Dreiecks , so ist das Escher-Sechseck konvex.
  • Liegt im Innern eines der Dreiecke oder , so ist das Escher-Sechseck konkav.
  • Liegt auf einer der sechs Seiten der Dreiecke , und , so ist das Escher-Sechseck entartet.
  • Liegt außerhalb der Dreiecke , und , so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.[1][2]
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.

Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 100–102.
  2. J. F. Rigby: Napoleon, Escher, and Tessellations. Mathematics Magazine, 64, (1991), S. 242–246.