Satz von Forster-Swan

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Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.

Der Satz wurde 1964[1] in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967[2] von Richard G. Swan verallgemeinert.

Satz von Forster-Swan

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Sei

  • ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
  • ein endlich-erzeugter -Modul,
  • ein Primideal von .
  • sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den -Modul resp. den -Modul zu erzeugen.

Um zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes über dem Körper zu berechnen, das heißt

Definiere die lokale -Schranke

dann gilt[3]

  • R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005.
  • R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).

Einzelnachweise

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  1. Otto Forster: Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring. In: Mathematische Zeitschrift. Band 84, 1964, S. 80–87, doi:10.1007/BF01112211.
  2. R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).
  3. R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005, S. 221.