Satz von Lüroth

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Satz von Lüroth ist ein Resultat aus der Algebra. Er wurde von Jacob Lüroth im Jahre 1875 publiziert.[1]

Sei eine rein transzendente Erweiterung des Körpers vom Transzendenzgrad 1. Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist isomorph zu .

Ein allgemeingültiger Beweis dazu findet sich in [2].

Andere Formulierungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über , also der Quotientenkörper des Polynomrings . Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist für ein Element von . Dieses Element ist immer transzendent über , wohingegen immer algebraisch über ist.

Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.

Lüroth-Problem

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet sich in dem unten zitierten Buch Basic Algebra II von Nathan Jacobson.[3]

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Curven, Math. Ann. 9 (1875), 163–165.
  2. "Algebraische Theorie der Körper" (1910) von Ernst Steinitz (Seite 302).
  3. N. Jacobson: Basic Algebra II (2nd. ed.), W. H. Freeman, San Francisco, 1989, Sec. 8.14, pp. 520–525