Strom (Mathematik)

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In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.[1]

Ströme und normale Ströme

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Ein -dimensionaler Strom oder -Strom in ist ein stetiges, lineares Funktional auf . Die Menge der -dimensionalen Ströme auf wird mit bezeichnet.

Mit wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass der Raum der -Formen auf mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums .

Eine Folge in konvergiert schwach gegen einen Strom , wenn für alle ; wir scheiben . Der Träger eines Stromes ist die kleinste abgeschlossene Menge mit der Eigenschaft, dass für alle mit .

Rand eines Stromes

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Sei . Der Rand von ist der Strom , welcher durch für alle definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt , weil , , und impliziert .

Seien, . Für offen und beliebig. Man setze

und .

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß auf . Wir definieren die Masse von durch . Den Vektorraum aller mit bezeichnen wir mit . Ein Strom hat lokal endliche Masse, falls ein Radon-Maß ist, also falls endlich auf kompakten Mengen ist, und bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

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Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.[2]

Sei . Man setze . Wir nennen normal, falls und lokal-normal, falls ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit .

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝn

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Sei offen und zusammenhängend, und . Dann existiert eine Konstante , sodass .

Hier ist , also für .

Charakterisierung von Nm,loc(T)

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Sei . Dann ist dann und nur dann, wenn für ein , in welchem Fall ist. Hier bezeichnet die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

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Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

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Sei das Hausdorff-Maß auf dem . Ein Strom heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

wobei

  1. abzählbar -rektifizierbar und eine -messbare Menge ist,
  2. eine lokale -integrierbare natürliche Funktion auf ist,
  3. eine -messbare -wertige Funktion auf , sodass für -fast überall , ist einfach, , und bezeichnet den approximierten Tangentialraum .

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in wird mit bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in ist eine Element von .

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in ist definiert durch für und . Ein Integralstrom in ist ein Element von . Weiter bezeichnen wir .

Minimierung von Strömen

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Ein Strom heißt minimierbar wenn für jede kompakte Menge und jedes mit kompaktem Träger und Rand .

Einzelnachweise

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  1. G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.
  2. Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.