*-Algebra

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Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt.

Eine *-Algebra über ist ein komplexer Vektorraum mit einem -bilinearen, assoziativen Produkt und einer Abbildung , welche ein -antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also[1]

für und .

Sei , dann gilt in dieser Notation

für und .

  • Die komplexen Zahlen bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung eine *-Algebra.
  • Die Algebra der komplexen -Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung ist eine *-Algebra.
  • Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra . Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung für alle .
  • Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden eine *-Unteralgebra .
  • Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von für einen Hilbert-Raum .
  • Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
  • Ist eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L1-Gruppenalgebra eine Involution, die zu einer *-Algebra macht. Für ist definiert durch , wobei die modulare Funktion von ist.

Einzelnachweise

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  1. Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.