Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

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Als asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ werden asymptotische Resultate für orthogonale Polynome bezeichnet. Sie sind nach den Schweizer Mathematikern Michel Plancherel und seinem PhD-Studenten Walter Rotach benannt, welche sie zuerst für das Hermitesche Polynom hergeleitet hatten. Man nennt asymptotische Entwicklungen dieser Form für orthogonale Polynome vom Plancherel-Rotach-Typ.

Der Fall für das zugeordnete Laguerre-Polynom stammt von dem Schweizer Mathematiker Egon Möcklin, der unter Plancherel und George Pólya an der ETH Zürich promovierte.[1]

Die hier aufgelisteten asymptotischen Entwicklungen stammen aus der Standardreferenz für orthogonale Polynome von Gábor Szegő.[2]

Hermitesche Polynome

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Seien und positiv und fix, dann gilt

  • für und
  • für und
  • für , komplex und beschränkt

wobei die Airy-Funktion bezeichnet.

Laguerre-Polynome

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Sei beliebig und reell, und positiv und fix, dann gilt

  • für und
  • für und
  • für sowie komplex und beschränkt
.

Einzelnachweise

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  1. Egon Möcklin: Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome. 1934, doi:10.3929/ethz-a-000092417.
  2. G. Szegő: Orthogonal polynomials. Hrsg.: American Mathematical Society. 4. Auflage. Providence, Rhode Island 1975, ISBN 0-8218-1023-5, S. 200–201.