Benutzer:Oberpepe/Spielwiese

anfang

Faktor

$y=c*f\,(x)$

$y'=c*f\!\,'(x)$

$y\,=10x^{4}$

$y'\,=4*10x^{3}=40x^{3}$

$y\,=-3e^{x}$

$y'\,=-3e^{x}$

$y\,=5\ln(x)$

$y'\,={\frac {5}{x}}$

summen

$y\,=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{n}(x)$

$y\!\,'=f_{1}\!\,'(x)+f_{2}\!\,'(x)+...+f_{n}\!\,'(x)$

$y\,=5x^{2}-\sin {x}$

$y\!\,'=10x-\cos {x}$

$y\,=5x^{7}+\cos {x}-e^{x}$

$y\!\,'=35x^{6}-\sin {x}-e^{x}$

produkt

$y\,=f(x)*g(x)\longrightarrow y\!\,'\neq f\!\,'(x)*g\!\,'(x)$

$y\!\,'=f\!\,'(x)*g(x)+f(x)*g\!\,'(x)$

$y\,=5x(7x-6)$

$y\!\,'=5(7x-6)+5x(7)=35x-30+35x=70x-30$

$y\,=(4x^{3}-3x)*(2e^{x}-\sin {x})$

$y\!\,'=(12x^{2}-3)*(2e^{x}-\sin {x})+(4x^{3}-3x)*(2e^{x}-\cos {x})$

3Faktoren

$y\,=f(x)*g(x)*h(x)$

$y\!\,'=f\!\,'(x)*g(x)*h(x)+f(x)*g\!\,'(x)*h(x)+f(x)*g(x)*h\!\,'(x)$

quotient

$y={\frac {f(x)}{g(x)}}$

$y\!\,'={\frac {f\!\,'(x)*g(x)-f(x)*g\!\,'(x)}{g(x)^{2}}}$

$y\,={\frac {x^{2}}{e^{x}}}$

$y\!\,'={\frac {2x*e^{2}-x^{2}*e^{x}}{(e^{x})^{2}}}={\frac {2x-x^{2}}{e^{x}}}$

ketten

$y\,=f(g(x))$

$y\!\,'={\color {Blue}f\!\,'(g(x))}*{\color {Red}g\!\,'(x)}$

$f\,(x)=\sin(5x)$

$f\!\,'(x)=\cos(5x)*5$

$f\,(x)=e^{2}x$

$f\!\,'(x)=e^{2}x*2$

$f\,(x)=\ln(4x+2)$

$f\!\,'={\frac {1}{4x+2}}*4$

$f\,(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}+5x+2}}$

$f\!\,'(x)={\frac {1}{3}}(x^{2}+5x+2)^{-2/3}*(2x+5)$

logn

$f\,(x)=x^{x}=f\!\,'(x)=?$

$\ln _{f(x)}=\ln _{x^{x}}=x*\ln _{x}$

${\frac {1}{f(x)}}*f\!\,'(x)=\ln(x)+x*1/x$

$f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x)=(\ln(x)+1)*f(x)=\ln(x)+1*x^{x}$

tmp

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

$1-{\frac {1}{n}}$

$1^{3}$

$2^{3}$

$3^{3}$

$\forall$

$\infty$

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})=1$

$<1-{\frac {1}{n}}>$

$\lim _{n\to \infty }(n^{3})=+\infty$

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g$

$\lim _{n\to 0}f(x)=g$

$\lim _{x\downarrow x_{0}}f(x)$

$\lim _{x\uparrow x_{0}}f(x)$

$\lim _{x\downarrow x_{0}}f(x)=\lim _{x\uparrow x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)=g$

$f(x)={\begin{Bmatrix}1&x\leq 0\\0&x\geq 0\end{Bmatrix}}$

$\lim _{x\uparrow x_{0}}=1$

$\lim _{x\downarrow x_{0}}=0$

$\nexists$

$f(x)={\frac {x^{2}-2x}{x-2}}$

$\lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}-2x}{x-2}}=\lim _{x\to 2}{\frac {x(x-2)}{x-2}}=\lim _{x\to 2}x=2$

blabla

$f\!\,'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}}$

weiterso

BSP1

$y=f\,(x)=const.=a$

$f\!\,'(x)=0$

$f\!\,'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a-a}{\Delta x}}=0$

BSP2

$y=f\,(x)=x$

$f\!\,'(x)=1$

$f\!\,'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {x+\Delta x-x}{\Delta x}}=1$

BSP3

$y=f\,(x)=x^{2}$

$f\!\,'=2x$

$f\!\,'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x=2x$

Ableitung der elementaren Funktionen

Funktion	Ableitung
$f\,(x)=c$	$f\!\,'(x)=0$
$f\,(x)=x^{n}$	$f\!\,'(x)=n*x^{n-1}$
$f\,(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$	$f\!\,'(x)={\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
$f\,(x)=\sin x$	$f\!\,'(x)=\cos x$
$f\,(x)=\cos x$	$f\!\,'(x)=-\sin x$
$f\,(x)=\tan x$	$f\!\,'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
$f\,(x)=e^{x}$	$f\!\,'(x)=e^{x}$
$f\,(x)=a^{x}$	$f\!\,'(x)=(\ln a)a^{x}$
$f\,(x)=\ln x$	$f\!\,'(x)={\frac {1}{x}}$
$f\,(x)=\arctan(x)$	$f\!\,'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$f\,(x)=\arcsin(x)$	$f\!\,'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$f\,(x)=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)$	$f\!\,'(x)=1$

Rennen

Pos.	Nr.	Fahrer	Konstrukteur	Runden	Stopps	Zeit	Start	Schnellste Runde
01	06	Australien Mark Webber	Osterreich Red Bull-Renault	78	?	?	0?	?? (??)
02	05	Deutschland Sebastian Vettel	Osterreich Red Bull-Renault	78	?	04	1:24,846 (57)
03	05	Deutschland Sebastian Vettel	Osterreich Red Bull-Renault	66	2	+ 51,338	02	1:25,176 (56)
04	03	Deutschland Michael Schumacher	Deutschland Mercedes	66	1	+ 1:02,195	06	1:25,529 (64)
05	01	Vereinigtes Konigreich Jenson Button	Vereinigtes Konigreich McLaren-Mercedes	66	1	+ 1:03,728	05	1:25,166 (64)
06	07	Brasilien Felipe Massa	Italien Ferrari	66	1	+ 1:05,767	09	1:25,497 (64)
07	14	Deutschland Adrian Sutil	Indien Force India-Mercedes	66	1	1:12,941	11	1:25,845 (65)
08	11	Polen Robert Kubica	Frankreich Renault	66	1	1:13,677	07	1:25,466 (66)
09	09	Brasilien Rubens Barrichello	Vereinigtes Konigreich Williams-Cosworth	65	1	+ 1 Runde	17	1:25,728 (59)
10	17	Spanien Jaime Alguersuari	Italien Toro Rosso-Ferrari	65	2	+ 1 Runde	15	1:25,655 (63)
11	12	Russland Witali Petrow	Frankreich Renault	65	1	+ 1 Runde	19	1:25,470 (63)
12	23	Japan Kamui Kobayashi	Schweiz Sauber-Ferrari	65	1	+ 1 Runde	10	1:26,083 (62)
13	04	Deutschland Nico Rosberg	Deutschland Mercedes	65	2	+ 1 Runde	08	1:25,455 (50)
14	02	Vereinigtes Konigreich Lewis Hamilton	Vereinigtes Konigreich McLaren-Mercedes	64	1	DNF	03	1:24,357 (59)
15	15	Italien Vitantonio Liuzzi	Indien Force India-Mercedes	64	1	DNF	16	1:25,924 (63)
16	10	Deutschland Nico Hülkenberg	Vereinigtes Konigreich Williams-Cosworth	64	2	+ 2 Runden	13	1:26,863 (63)
17	18	Italien Jarno Trulli	Malaysia Lotus-Cosworth	63	1	+ 2 Runden	18	1:29,564 (56)
18	24	Deutschland Timo Glock	Vereinigtes Konigreich Virgin-Cosworth	63	1	+ 2 Runden	22	1:29,776 (60)
19	25	Brasilien Lucas di Grassi	Vereinigtes Konigreich Virgin-Cosworth	62	1	+ 2 Runden	23	1:29,904 (47)
20!—	16	Schweiz Sébastien Buemi	Italien Toro Rosso-Ferrari	42	3	DNF	14	1:26,724 (41)
21!—	20	Indien Karun Chandhok	Spanien HRT-Cosworth	27	1	DNF	24	1:32,041 (26)
22!—	22	Spanien Pedro de la Rosa	Schweiz Sauber-Ferrari	18	1	DNF	12	1:30,411 (9)
23!—	21	Brasilien Bruno Senna	Spanien HRT-Cosworth	00	0!—	DNF	21	—
24!—	19	Finnland Heikki Kovalainen	Malaysia Lotus-Cosworth	-1!—	0!—	DNS	20	—

TEST LISTE

TEST

Name	Region	Ort	Gegründet
Aberfeldy	Aberfeldy/Highlands (Midlands)	1999	BLA
Aberlour	Charlestown-of-Aberlour/Speyside
Allt-á-Bhainne	Glenrinnes/Speyside
Ardbeg	Port Ellen/Isle of Islay
Ardmore	Kennethmont/Speyside
Arran	Lochranza/Isle of Arran
Auchentoshan	Dalmuir/Lowlands
Auchroisk	Mulben/Speyside
Aultmore	Keith/Speyside

Schottische Whisky-Regionen

Name	Region	Ort	Gegründet	Bemerkung
Aberfeldy	Highlands	Aberfeldy	1896
Aberlour	Speyside	Charlestown-of-Aberlour	1826
Allt-á-Bhainne	Speyside	Glenrinnes	1975
Ardbeg	Islay	Port Ellen	1815
Ardmore	Speyside	Kennethmont	1898
Arran	Inseln	Lochranza	1995
Auchentoshan	Lowlands	Old Kilpatrick	1823
Auchroisk	Speyside	Banffshire	1974
Aultmore	Speyside	Keith	1896
Balblair	Highlands	Edderton	1790
Balmenach	Speyside	Cromdale	1824
Balvenie	Speyside	Dufftown	1892
Ben Nevis	Highlands	Fort William	1825
Benriach	Speyside	Elgin	1898
Benrinnes	Speyside	Milltown of Edinvillie	1835
Benromach	Speyside	Forres	1898