Fluss eines Vektorfeldes

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In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.

Sei ein -Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes eine eindeutige maximale Lösung

der Differentialgleichung

.

Hierbei ist das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert abhängende Kurve mit .

Sei . Dann heißt die durch

gegebene Abbildung der Fluss des Vektorfeldes .

Vektorfeld F(x,y)=(-y,x)

Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also

und

für alle .

Der Fluss des auf dem definierten Vektorfeldes

ist gegeben durch

.

Vollständige Vektorfelder

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Das Vektorfeld heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also

für alle , oder äquivalent ist.

Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.