Freie Poisson-Verteilung

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In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die freie Poisson-Verteilung[1] mit Parametern und ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

für .

Genauer: Seien Zufallsvariable, so dass den Wert mit Wahrscheinlichkeit und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit annimmt. Sei weiterhin die Familie frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von im Grenzwert durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern und gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form[2]

wobei

den Träger hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch .

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

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Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.

Einzelnachweise

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  1. Lectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006
  2. James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.