Isonormaler Gauß-Prozess

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Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum , der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L2-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.[1]

Isonormaler Gauß-Prozess

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Sei ein separabler Hilbertraum über . Ein isonormaler Gauß-Prozess auf ist ein stochastischer Prozess

definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum , so dass eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und

für alle gilt.[2]

Aus der Definition folgt, dass die Abbildung eine lineare Isometrie

ist, denn für und gilt

Somit -fast sicher . Aus der Linearität folgt auch sofort, dass wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.

Fixiere eine Orthonormalbasis und betrachte iid und .

Für ein beliebiges definiere , wobei die Reihe fast sicher und in konvergiert, da Sei nun , dann gilt

.[3]

Weißes Rauschen

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Sei , wobei ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß . Dann definieren wir den Prozess

durch

Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß , so dass

falls . nennt man Weißes Rauschen basierend auf und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.

Ist und das Lebesgue-Maß, dann ist das -parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.

Analog für mit und Lebesgue-Maß definiert

das -Brownsche Blatt mit Kovarianz

für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun , dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich

und somit ein isonormaler Gauß-Prozess .

Einzelnachweise

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  1. I. E. Segal: Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogorov. In: American Journal of Mathematics. Band 76, 1954, S. 721–73.
  2. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  3. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 300, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.