Kongruenzuntergruppe
In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.
In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe betrachtet.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei
eine über definierte algebraische Gruppe und eine natürliche Zahl. Dann ist
eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet die Einschränkung der „Reduktion modulo N“ auf .)
Arithmetische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für enthält jede arithmetische Gruppe eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]
Allgemeine Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus
für ein Ideal .
Congruence subgroup problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring jeder Normalteiler in eine Kongruenzuntergruppe ist.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
- ↑ Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.