Moser-Ungleichung

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Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der -Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der -Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

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Mit wird der -Raum und mit für der Sobolev-Raum der -Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante so, dass für alle Funktionen und für jeden Multiindex mit die Ungleichung[1]

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass einmal schwach differenzierbar ist, also gilt, wobei den Sobolev-Raum der -Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung[1]

Die Funktion ist hier aus dem Raum und .

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall . Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.

Einzelnachweise

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  1. a b Michael Eugene Taylor: Partial Differential Equations. Band 3: Nonlinear equations. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 0-387-94652-7 (Applied mathematical Sciences 117), S. 10–11.