Multiplikativer Ergodensatz

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In der Ergodentheorie ist der Multiplikative Ergodensatz oder Satz von Oseledets ein mathematischer Lehrsatz, der das asymptotische Langzeitverhalten der Ableitungsmatrizen für Iterationen einer differenzierbaren Abbildung beschreibt.

Der Satz von Oseledets wird in der Regel in einer allgemeinen Fassung für matrixwertige Kozykel formuliert, aus der als spezielle Anwendung der multiplikative Ergodensatz für -Diffeomorphismen folgt.

Version für matrixwertige Kozykel

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Sei ein maßerhaltende Abbildung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum und sei eine Familie von Matrizen mit

für alle , also ein matrixwertiger Kozykel. Sei und für alle . Dann existiert für -fast alle und alle mit der Grenzwert

und nimmt höchstens verschiedene Werte an, die von , aber nicht von abhängen. Diese Werte heißen Ljapunow-Exponenten. Bezeichnet man die unterschiedlichen Ljapunow-Exponenten mit , dann gibt es Unterräume

mit

für .

Version für Diffeomorphismen

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Sei eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ein -Diffeomorphismus. Sei ein ergodisches -invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gibt es für -fast alle messbar von abhängende Zahlen und eine messbar von abhängende -äquivariante Zerlegung

mit

,

und

für . Die heißen Ljapunow-Exponenten, die ihre Vielfachheiten. Aus Ergodizität von folgt, dass sie -fast überall konstant sind.

  • V.I. Oseledets: A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math. Soc. 19 (1968), 197–231.
  • D. Ruelle: Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publ. IHÉS 50 (1979), 275–306.