Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung

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Der Satz über die Existenz einer Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung besagt, dass es eine Basis des -Vektorraums gibt, die sich als Bahn eines geeigneten Elementes unter der Operation der Galois-Gruppe ergibt. Ein solches Element heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung , seine Bahn eine Normalbasis von .

Der Name rührt daher, dass (vor allem gemäß älterem, klassischem Sprachgebrauch) Galoiserweiterungen als „normal und separabel“ bezeichnet wurden.[Anm 1] Gemäß dieser Konvention heißt also eine Erweiterung normal, wenn den Zerfällungskörper („Wurzelkörper“) eines jeden enthält und also das Minimalpolynom jedes über in Linearfaktoren zerfällt, mit anderen Worten: Dank der Normalität liegen die über Konjugierten eines jeden (das heißt die übrigen Nullstellen seines Minimalpolynoms) sämtlich in , und operiert auf , d. h., ist ein -Modul. Separable normale Körpererweiterungen sind Galoiserweiterungen, und eine Normalbasis der Galoiserweiterung ist eine Basis des -Vektorraums , die als Bahn aus seiner -Modul-Struktur hervorgeht.

In der Sprache der Darstellungstheorie endlicher Gruppen formuliert liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis die Erkenntnis, dass die natürliche Darstellung , die durch die Operation von auf gegeben ist, äquivalent (isomorph) zur regulären Darstellung von ist, mit anderen Worten: und sind als -Linksmoduln isomorph. So liefert Zyklizität von diejenige von , also ein Element , dessen Bahn eine -Basis ist.

Für zyklische Erweiterungen erscheint dieser Satz als eine Anwendung der Klassifikation endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen (Elementarteilersatz). Diese Betrachtungsweise ist also insbesondere für endliche Körper und zyklische Kummer-Erweiterungen fruchtbar. Zugleich wird deutlich, dass weitere Existenzsätze – nämlich der Satz von der Existenz einer Primitivwurzel modulo einer Primzahl und allgemeiner der Satz über die Zyklizität endlicher Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers – demselben Argumentationsschema folgen: Im einen Fall geht es um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter (sogar ein endlicher) Torsionsmodul über den ganzen Zahlen (nämlich eine endliche abelsche Gruppe) zyklisch ist, im anderen Falle um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter Torsionsmodul über zyklisch ist. Kriterium für Zyklizität ist, dass Annullator und charakteristischer Divisor übereinstimmen.

Für unendliche Körper gab Emil Artin einen Beweis, der auf der Betrachtung der Determinante eines Matrizenpolynoms beruht: Setzt man für die Unbestimmte ein primitives Element der Galoiserweiterung ein, so geht die zugehörige Matrix über in die Permutationsmatrix, mit welcher die Inversion die Elemente von permutiert. Da das Polynom folglich nicht identisch verschwindet, muss es auch über dem unendlichen Grundkörper Stellen geben, an denen es nicht verschwindet, so dass die zugehörige Matrix regulär ist.

Für den Existenzbeweis im zyklischen Falle spielt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind eine Schlüsselrolle, dessen Aussage deshalb im Rahmen der Vorüberlegungen zum Beweis für den zyklischen Fall spezifiziert wird. Zugleich vermag der Unabhängigkeitssatz für Elemente ein Matrixkriterium dafür zu liefern, wann ihre Bahnen Normalbasen sind: Dies wird im darstellungstheoretischen Zusammenhang des Erweiterungskörpers beleuchtet und später im Existenzbeweis genutzt.

Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt.

Mit Hilfe einer Normalbasis lässt sich der Zusammenhang zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den zugehörigen Fixkörpern – Zwischenkörpern der Galois-Erweiterung – leicht beschreiben. Im Zuge der Untersuchungen zur Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung und der Kreisteilungskörper geschah dies schon in der klassischen algebraischen Zahlentheorie, wie im Zahlbericht David Hilberts (1897) nachzulesen ist: In diesen Zusammenhang gehören die Lagrangesche Resolvente und die Gaußschen Perioden, die den mathematischen Hintergrund bei der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks darstellen.

Die Existenz einer Normalbasis erlaubt für die Kryptographie auf elliptischen Kurven eine nützliche Anwendung, um den Rechenaufwand zu optimieren.

Es sei eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe endlichen Grades , und bezeichne eine Basis von (als Vektorraum) über . Die Basis heißt eine Normalbasis der Galois-Erweiterung , wenn die Automorphismen von – als auf eingeschränkte Abbildungen – eine Operation auf induzieren, das heißt, wenn sie Basiselemente permutieren. Gemäß Galoistheorie sind hierzu äquivalente Bedingungen:

  • Für jedes ist .
  • Für jedes und jedes ist .
  • Die Basis ist mit der Bahn eines identisch: .

Ein solches Element mit diesen Eigenschaft heißt Erzeuger oder erzeugendes Element einer Normalbasis oder freies Element der Galoiserweiterung .[1]

Für ein Element sind also äquivalent:

  • Das Element erzeugt eine Normalbasis von .
  • Die Bahn ist eine Normalbasis.
  • Die Bahn enthält Elemente und ist linear unabhängig über .
  • Die Bahn spannt über den Raum auf.

Zusammenhang mit dem Gruppenring über dem Grundkörper

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Die Galois-Gruppe einer Galois-Erweiterung induziert auf in naheliegender Weise zunächst die Struktur eines Links-Moduls über dem (nicht notwendig kommutativen) Gruppenring . In der Sprache der Darstellungstheorie lässt sich dasselbe so ausdrücken: Jede Galois-Erweiterung induziert eine Darstellung der Galoisgruppe , indem Automorphismen aus als Endomorphismen auf dem -Vektorraum aufgefasst werden.

Dabei sind äquivalent:

  1. Es gibt einen Isomorphismus von Links-Moduln über dem Gruppenring zwischen dem Erweiterungskörper und der Gruppenalgebra :
  2. Der Erweiterungskörper ist als -Links-Modul zyklisch, d. h.:, es gibt ein mit
  3. Die Erweiterung besitzt eine Normalbasis.

Ist nämlich ein solcher Isomorphismus, so setze . Dann ist .

Dabei operiert die Galoisgruppe auf als reguläre Darstellung.

Jeder Isomorphismus von -Links-Moduln vermittelt also eine Normalbasis von – und umgekehrt. Denn es gilt folgender

Satz (Matrixkriterium für Erzeuger einer Normalbasis): Es sei eine Galois-Erweiterung mit der Galoisgruppe . Dann sind für ein äquivalent:

  • Das Element erzeugt eine Normalbasis für .
  • Die Bahn ist eine Normalbasis von .
  • .
  • Die (eindeutige) Fortsetzung der Substitution zu einer -linkslinearen Abbildung von Linksmoduln über ist surjektiv und also ein Isomorphismus von -Linksmoduln. (Denn eine solche Fortsetzung ist zugleich ein Homomorphismus von Vektorräumen derselben endlichen Dimension über .)
  • Die Matrix ist regulär.

Begründung für das Matrix-Kriterium: Der Umstand, dass ein Vektorraum-Homomorphismus durch seine Werte auf einer Basis eindeutig festgelegt ist, liefert zusammen mit dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Erkenntnis, dass für eine Basis von und Koeffizienten die Implikation gilt:

.

Diese Implikation bedeutet aber, dass für eine Normalbasis die angegebene Matrix regulär ist. Ist umgekehrt[Anm 2] diese Matrix für ein regulär, so liefert der Ansatz mit Koeffizienten für jedes die Gleichung , also ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten, zu welcher die reguläre Matrix gehört, so dass für jedes folgt. Also impliziert die Regularität der Matrix die lineare Unabhängigkeit der Bahn .

Demzufolge ist eine Normalbasis gefunden, sobald ein gefunden ist, für welches die Matrix regulär ist. Genau dies ist die Idee des Beweises für den Fall eines unendlichen Grundkörpers.

Notabene: Dass und als Linksmoduln über dem Gruppenring isomorph sind, bedeutet nicht, dass sie auch als Algebren über isomorph sind. Ein offensichtliches Gegenbeispiel liefert jede nicht-abelsche Galoiserweiterung.

Anmerkung 1: Dass als Modul über zyklisch ist, ist trivial. Bemerkenswert ist die Zyklizität über .

Anmerkung 2: Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind besagt für eine endliche Körpererweiterung , dass der Gruppenring als -Unterraum von ( als Vektorraum über betrachtet)[Anm 3] die Dimension hat, so dass insgesamt folgt: . Äquivalent sind also:

  • ist galoissch.
  • .
  • als -Vektorräume.
  • als -Vektorräume.

Anmerkung 3: Für eine endliche Körpererweiterung und die Gruppe der relativen Automorphismen gilt, wenn den Dualraum des -Vektorraums bezeichnet, allgemeine Aussagen über die Isomorphie von Tensorprodukträumen:

  1. einerseits und
  2. andererseits.

Auch dies zeigt die obigen beiden Kriterien dafür, dass eine Galois-Erweiterung ist. Doch lässt sich aus der Vektorraum-Isomorphie nicht ohne Weiteres die Isomorphie als Links-Moduln über dem Gruppenring folgern.

Der Satz von der Existenz einer Normalbasis aber behauptet demnach, dass eben diese Folgerung doch zutreffend ist: Es sei eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe . Dann gilt:

als -Vektorräume als -Linksmoduln.

Der Beweis ist jedoch zu erbringen.

Anmerkung 4: Da die umgekehrte Implikation trivial ist, liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis also bei gleichen Voraussetzungen die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

  • ist endliche Galois-Erweiterung.
  • .
  • als endlichdimensionale -Vektorräume.
  • als endlichdimensionale -Vektorräume.
  • als -Linksmoduln.

Anmerkung 5: Dabei sind für jedes äquivalent:

  • ist zyklische Galois-Erweiterung mit und .
  • als -Vektorräume endlicher Dimension.
  • als -Vektorräume endlicher Dimension.
  • Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von haben gleichen Grad, d. h., sind (als normierte Polynome) gleich.
  • als -Linksmoduln und .

Die Aussage über das Minimalpolynom ist der springende Punkt beim Beweis des Satzes über die Existenz einer Normalbasis für den zyklischen Fall, wie dort genauer erläutert wird.

Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis

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Angenommen, die Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe besitze eine Normalbasis in Gestalt der Bahn von .

  • Dann besitzt auch über jedem Zwischenkörper eine Normalbasis, und diese ergibt sich aus den Nebenklassen der zum Zwischenkörper gehörigen Untergruppe: Denn ist die zum Zwischenkörper gehörige Untergruppe, dann ist nach Galois-Theorie der Fixkörper unter den Automorphismen der Untergruppe , das heißt: Die Automorphismen werden die Koordinaten der Elemente bezüglich der Normalbasis von nicht verändern. Das bedeutet jedoch, dass die Koordinaten solcher innerhalb jeder Rechtsnebenklasse übereinstimmen müssen, denn sie werden innerhalb dieser Rechtsnebenklassen permutiert, das heißt: für jedes . Also bilden die Summen eine Basis der Teilerweiterung , wobei diese Summe über jeder der disjunkten Rechtsnebenklassen von in zu bilden ist. Bezeichnet also die Menge dieser disjunkten Rechtsnebenklassen, so ist . Beachte: Dies ist keine Normalbasis, denn dies würde zumindest erfordern, dass galoissch oder, was dasselbe bedeutet, dass Normalteiler ist.[2]
  • Ist dabei sogar Normalteiler (also Galois-Erweiterung mit zu isomorpher Galoisgruppe), so ist und der Zwischenkörper ist die Summe . Daher ist die Spur ein Erzeuger einer Normalbasis für .[Anm 4]
  • Spezialfall Kreisteilungskörper und abelsche Zahlkörper: Für Kreisteilungskörper , die Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms über , stellt die Menge der primitiven -ten Einheitswurzeln eine Normalbasis dar, da sie sämtlich untereinander konjugiert sind, d. h., unter der Operation der Galois-Gruppe bilden sie eine Bahn: . Tatsächlich ist operiert die Galoisgruppe scharf transitiv auf ihnen, besteht daher genau aus den Substitutionen der primitiven Einheitswurzeln durcheinander und ist somit isomorph zu von der Ordnung . Nach dem Satz von Kronecker/Weber liegt jede abelsche Körpererweiterung (also jeder absolut abelsche Zahlkörper) in einem geeignet gewählten Kreisteilungskörper: , sobald geeignet gewählt ist.[Anm 5] Für die Fixgruppe ist dann und mit und . Für eine abelsche Körperweiterung lässt sich also, wie oben beschrieben, aus den -ten primitiven Einheitswurzeln (als einer Normalbasis von ) eine Normalbasis von konstruieren: Mit jeder der Nebenklassen geht eine -gliedrige Gaußsche Periode einher, nämlich . David Hilbert nennt die aus den Gaußschen Perioden bestehende Normalbasis eine Lagrangesche Normalbasis, denn mit ihr in engem Zusammenhang steht die Lagrangesche Resolvente oder Lagrangesche Wurzelzahl: David Hilbert: Zahlentheorie Kapitel 7.24, § 110.

Im Folgenden werden jedoch die allgemeinen Beweise für die Existenz einer Normalbasis skizziert.

Satz über die Existenz einer Normalbasis für Galois-Erweiterungen

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Ein galoisscher Erweiterungskörper endlichen Grades über seinem Grundkörper besitzt eine Normalbasis.

Äquivalent formuliert: Für eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe und den zugehörigen Gruppenring gilt:

Wenn es einen Isomorphismus von Vektorräumen über gibt, so gibt es auch einen Isomorphismus von Linksmoduln über dem Gruppenring ; mit anderen Worten: Gilt , so ist der Erweiterungskörper als -Linksmodul zyklisch.

Beweis der Existenz

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Bemerkenswerterweise kann der Beweis für einen endlichen Grundkörper auf gänzlich andere Weise geführt werden als für einen unendlichen Grundkörper : Im Falle eines endlichen Grundkörpers ist die Galois-Erweiterung gemäß Galois-Theorie zyklisch. Zum Beweis der Existenz einer Normalbasis ist diese Eigenschaft bereits hinreichend, und durch sie wird der Satz über Existenz einer Normalbasis eine bloße Folgerung aus der Elementarteilertheorie für Hauptidealringe, d. h., aus dem Strukturhauptsatz für Moduln über Hauptidealringen. Diese Beweisführung ist also bei endlichem Grundkörper und bei Kummerschen Erweiterungen anwendbar.

Der Beweis im nicht-zyklischen Falle gelingt – nach einer Idee von Emil Artin – mit Mitteln der Linearen Algebra, indem die Unendlichkeit des Grundkörpers explizit herangezogen wird.

Schließlich gibt es auch einen Beweis unter Verwendung des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher von Max Deurings Ideen inspiriert ist und die Mächtigkeit des Grundkörpers ignoriert. Auch dieser Beweis stützt sich wesentlich auf den Unabhängigkeitssatz von Dedekind. Der Struktursatz von Krull-Remak-Schmidt gestattet, unmittelbar auf die Isomorphie als -Links-Moduln zu schließen.

Alle drei Beweise werden im Folgenden wiedergegeben, beginnend mit dem zuletzt erwähnten.

Allgemeiner Beweis mit Hilfe des Satzes von Krull-Remak-Schmidt

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Für diesen Beweis[3] spielt die Mächtigkeit Grundkörpers keine Rolle. Er ist von Max Deurings Beweis inspiriert und beruht auf der Grundidee, den -Linksmodul der Endomorphismen des -Vektorraums auf zwei Arten zu zerlegen und auf diese Zerlegungen die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt anzuwenden.

Vorüberlegungen: Es sei also eine Galoiserweiterung vom Grade mit Galoisgruppe . Der -Vektorraum der Endomorphismen auf dem -Vektorraum ist mit der Komposition „“ zugleich eine -Algebra. Also induziert sie für jede Untergruppe ihrer Einheitengruppe eine Operation von auf von links durch Nachschalten und von rechts durch Vorschalten der Elemente von : Das bedeutet, dass zu einem -Bimodul wird, insbesondere für die Untergruppe :

mit .

Der Satz betrifft die Links-Modulstruktur über , daher wird diese im Beweis von Interesse sein.

Jedes Element liefert durch Multiplikation einen Endomorphismus und mithin eine Einbettung von -Algebren.[Anm 6]

Für bedeute mit dieser Identifikation und . Insbesondere für jedes gilt damit , und wegen folglich .

Zum Beweis: Es sei nun eine Basis des -Vektorraums und eine Basis des Dualraumes . Auf der linken Seite dieses Dualraums, aufgefasst als -Unterraum von , operiert die Galoisgruppe wegen trivial: .

Die Zerlegung besteht daher sowohl in der Kategorie der -Vektorräume als auch in der Kategorie der -Linksmoduln.

Daraus folgt ferner , was freilich ohnehin klar ist, da .

Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die Automorphismen somit aus Dimensionsgründen eine -Basis von und liefern eine zweite Zerlegung , allerdings zunächst nur als Vektorräume über . Denn die Unterräume sind nicht invariant (stabil) unter der Links-Operation von , also keine -Links-Untermoduln[Anm 7] – im Gegensatz zu den Unterräumen .

Doch lassen sich die -Unterräume dieser Zerlegung weiter in -Unterräume zerlegen, und diese lassen sich in folgender Weise umgruppieren und zu -Links-Untermoduln zusammenfassen:

.

Insgesamt bestehen also Isomorphismen von -Linksmoduln:

.

Da sowohl als auch endlichdimensionale -Vektorräume sind, erfüllen sie als -Linksmoduln notwendig die Voraussetzungen des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher seinerseits auf die Isomorphie von -Linksmoduln schließen lässt.

Beweis im zyklischen Falle

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Nach den Überlegungen zum Zusammenhang mit dem Gruppenring (insbesondere Anmerkung 5) ist also zu zeigen:

Satz: Ist eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe , so sind für jedes äquivalent:

  • ist zyklische Galois-Erweiterung mit und .
  • als -Vektorräume endlicher Dimension.
  • als -Vektorräume endlicher Dimension.
  • als -Linksmoduln.
  • Als -Linksmodul ist zyklisch.

Es ist dann .

Der weiter unten stehende Beweis wird im Wesentlichen in der Erkenntnis bestehen, dass jede der genannten Aussagen mit der folgenden Aussage äquivalent ist:

  • ,

das heißt: Minimalpolynom (Annulatorpolynom) und charakteristisches Polynom sind gleich („Annullator und charakteristischer Divisor sind gleich“).

Um diese Argumentation nachzuvollziehen, bedarf es einiger Vorüberlegungen, die den geeigneten Blickwinkel schaffen.

Vorüberlegungen

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Dies soll in diesem Abschnitt geschehen. Wesentliche Ingredienzen sind der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sowie der Blick auf den Erweiterungskörper als einen Modul über dem prinzipalen Polynomring (gestiftet durch die Darstellung ), so dass der Elementarteilersatz anwendbar ist.

Unabhängigkeitssatz von Dedekind
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Es sei zunächst ein Körper und die Gruppe der Automorphismen auf diesem Körper. Für jeden Teilkörper ist dann die Menge der relativen Automorphismen eine Untergruppe von . Dabei kann als ein Vektorraum über der Dimension betrachtet werden und die Untergruppe der relativen Automorphismen als eine Untergruppe der -Algebra der -linearen Endormorphismen auf : Ihre Einheitengruppe ist ja und enthält . Diese -Algebra hat über die Dimension über , als Teilraum des -Vektorraumes aller Abbildungen also die Dimension . Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die relativen Automorphismen dabei stets ein über linear unabhängiges System, das heißt, der Gruppenring hat als -Unterraum die Dimension . Für jeden Teilkörper ist also . Dies gilt insbesondere für Teilkörper , die Fixkörper unter einer Untergruppe sind: . Wegen gilt also .

Tatsächlich beruht der Beweis über die Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall auf ganz analogen Argumenten wie der Beweis, dass eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist (Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel). Dabei nimmt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Rolle eines Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ein, wie die folgende Gegenüberstellung zeigen möge:

Gegenüberstellung
Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel Satz von der Existenz einer Normalbasis (zyklischer Fall)
Der Satz über die Anzahl Nullstellen eines Polynoms in Körpern liefert: Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert:
Für die Ordnung der Untergruppe der Nullstellen des Polynoms gilt: . Für die Ordnung einer Untergruppe gilt . Insbesondere für ein gilt .
Eigenschaften einer endlichen Galois-Erweiterung
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Die heißt eine Galoiserweiterung, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Untergruppe mit .
  • Es gilt (und nicht etwa nur ).

Ist zudem endlich, so ist ferner äquivalent:

  • .
  • .

Die Gruppe heißt die zugehörige Galoisgruppe. Ist die Galoisgruppe zyklisch (auflösbar, primyzklisch etc.), so gilt auch die Galoiserweiterung als zyklisch (auflösbar, primzyklisch etc.)

Einordnung in die Elementarteilertheorie
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Ein Automorphismus lässt sich als ein -linearer Vektorraum-Endomorphismus auf betrachten. Solche Endomorphismen werden untersucht, indem als ein Modul über dem Hauptidealring , der sogar ein euklidischer Ring mit Höhe ist, betrachtet wird: Die Hauptraumzerlegung erscheint dann als die Primärzerlegung dies Moduls gemäß der Elementarteilertheorie bzw. dem Strukturhauptsatz über Moduln über Hauptidealringen.

Dabei beachte man: Ist ein unitärer kommutativer Ring, so ist ein Modul dem Polynomring notwendig ein Modul über und die Abbildung ist eine -lineare Abbildung: . Umgekehrt liefert ein -Modul und ein Endormorphismus einen -Modul durch die Festlegung und lineare Fortsetzung. Die Betrachtung eines -Moduls kommt also der Betrachtung eines Endomorphismus gleich. Der Satz von Frobenius (Äquivalenz und Ähnlichkeit, gem. Crelles Journal, Band 85, 1878, Georg Frobenius: Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, darin § 6: Aequivalenz, Abschnitt 2, S. 21 (unter Verweis auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker! B.M. 1868 und 1874)) liefert den Zusammenhang zwischen beiden Betrachtungen.

Angewendet auf einen endlichdimensionalen Vektorraum über einem Körper besteht mit dem Minimalpolynom die exakte Sequenz

, die den Isormorphismus induziert.

Im Allgemeinen ist Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms , und es gilt . Der folgende Satz kennzeichnet, wann beide Polynome gleich sind, und liefert damit das Kriterium für zyklische Moduln über dem Hauptidealring .

Satz: Für einen Vektorraum endlicher Dimension über dem Körper , betrachtet als einen Modul über der euklidischen Polynomalgebra bezüglich eines Endomorphismus' , sind äquivalent:

  1. Der Modul ist zyklisch über , das heißt, es gibt ein mit .
  2. Es gibt ein , so dass die Abbildung eine exakte Sequenz von -Moduln induziert:
  3. Es gibt ein , so dass die Abbildung einen Isomorphismus von -Moduln vermittelt.
  4. .
  5. Das Minimalpolynom von und sein charakteristisches Polynom sind gleich: .
  6. (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
  7. (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
  8. Es gibt eine -Basis von , bezüglich welcher die Darstellungsmatrix von eine Frobeniussche Begleitmatrix ist, das heißt mit der Eigenschaft: für (und ).

Angewandt auf eine endliche galoissche Körpererweiterung über und sind dies also gerade äquivalente Kriterien für die Existenz einer Normalbasis, denn genau das ist die Aussage eines der Kriterien. Dabei gilt zunächst

  • , und für den -Untervektorraum gilt dabei
  • .

Man beachte, dass ein Körperelement tatsächlich einen -linearen Endomorphismus im Vektorraum liefert, nämlich . Da vermittelt die Multiplikation eine Einbettung . Freilich sind dies weder Körperautomorphismen auf noch lassen sie fest, doch umgekehrt spannen – nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind – die Automorphismen als -lineare Abbildungen auf über den -Vektorraum der Vektorraum-Endomorphismen der Dimension auf: . Nun enthält der Teilraum alle Potenzen von . Wenn also die Potenzen von bereits die gesamte Galoisgruppe liefern, so folgt , mithin sind alle Zahlen identisch: . Es sind sogar offenkundig äquivalent:

Diese Situation beschreibt der Satz über die Existenz einer Normalbasis für eine zyklische Körpererweiterung.

Zyklischer Fall: Satz und Beweis

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Kriterien dafür, wann Minimalpolynom und charakteristisches Polynom eines Körper-Automorphismus' gleichen Grad haben und mithin für die Existenz einer Normalbasis einer galoisschen Körpererweiterung, liefert der Satz:

Satz: Für eine endliche Galois-Erweiterung und ein Element sind nun äquivalent:

  1. Die Erweiterung ist zyklisch mit als Erzeugendem, d. h.: .
  2. Es gilt .
  3. , d. h.: .
  4. Es ist , und ist als Modul über der Polynomalgebra bezogen auf zyklisch, d. h., es gibt ein mit .
  5. Die Galoiserweiterung besitzt eine Normalbasis der Gestalt für .

Zum Beweis beachte, dass zunächst allgemein , also . Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert jedoch andererseits die lineare Unabhängigkeit der Familie , so dass notwendig .

Also gilt für ein mit stets: , d. h.: . Damit ist das obige Kriterium erfüllt und die Existenz einer Normalbasis nachgewiesen.

Zusammenfassung und alternativer Beweis durch Primärzerlegung

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Wie für den Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel, so kann auch für den Satz von der Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall durch explizite Primärzerlegung des in Rede stehenden Moduls konstruktiv argumentiert werden, wie die folgende Gegenüberstellung verdeutlichen soll. Darf das obige Kriterium für die Zyklizität von Moduln über Hauptidealringen gemäß Elementarteilertheorie als bekannt vorausgesetzt werden, so ist der Beweis schon beim Zeichen „◀“ erbracht. Andernfalls kann der Beweis mittels Primärzerlegung vollendet werden, wie anschließend gezeigt.

Beweis durch Primärzerlegung: Gegenüberstellung[4]
Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch. Endliche zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis.
Betrachtet wird eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers als (multiplikativ notierter, scil.) Modul über dem euklidischen Ring . Betrachtet wird eine zyklische Körpererweiterung endlichen Grades als Modul über der euklidischen Polynomalgebra .
Es sei also eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe des Körpers und ihr Exponent (Annullator). Es sei also eine Galois-Erweiterung mit zyklischer Galois-Gruppe der Ordnung . Betrachte als -Modul vermöge . Es sei das Minimalpolynom von , das heißt mit minimalem Grad .
Nach dem Satz über die Anzahl von Nullstellen gilt sind Ordnung und Exponent notwendig gleich: . ◀ Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind ist , also . ◀
Zerlege in Primfaktoren, setze und finde mit . Das ist möglich, weil nicht mehr als Nullstellen haben kann, aber . Zerlege in irreduzible Faktoren, setze und finde mit für jedes . Das ist möglich, weil .
Für die Ordnung von gilt somit , denn . Für das Minimalpolynom von gilt somit , denn
Für das Produkt dieser gilt nun Für die Summe dieser gilt nun
Also ist surjektiv mit Kern , d. h. . Also ist surjektiv mit Kern , d. h. .

Folgerung aus dem zyklischen Fall: Normalbasis für abelsche Erweiterungen

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Nach dem Elementarteilersatz zerfällt jede endliche abelsche Gruppe in eine direkte Summe zyklischer Gruppen.[Anm 8] Ist eine endliche abelsche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe , so korrespondieren mit ihren Elementarteilern (gemäß der Galoiskorrespondenz (Galois-Verbindung, Galois-Zusammenhang) des Hauptsatzes der Galoistheorie) Zwischenkörper, deren direkter Durchschnitt gleich dem Grundkörper ist, und äquivalent liefert die Galoiskorrespondenz also auch Zwischenkörper, deren direktes Kompositum gleich ist.[Anm 9] So lässt sich eine Normalbasis für jede abelsche Erweiterung konstruieren.

Für absolut abelsche Zahlkörper, d. h. für abelsche Erweiterungen des Körpers war dies bereits Gegenstand der obigen Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis zum Spezialfall der Kreisteilungskörper. Doch lässt sich der Beweis der Existenz einer Normalbasis für den nicht-zyklischen Fall auf andere Weise führen. In diesem Falle besitzt der Grundkörper notwendig unendlich viele Elemente.

Beweis im Falle eines unendlichen Grundkörpers

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Es werden zwei Beweisvarianten gegeben.

Nach Serge Lang

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Serge Langs Beweis[5] setzt sogar unmittelbar bei dem obigen Matrizen-Kriterium für eine Normalbasis an: Das Polynom in den Unbestimmten verschwindet nicht identisch, weil sich bei Einsetzung von (Kronecker-Delta) eine unimodulare Matrix ergibt. Als Polynom über dem unendlichen Grundkörper ist reduziert. Daher gibt es ein , so dass bei Einsetzung (für jedes ) einen von Null verschiedenen Wert annimmt und folglich die Matrix , wie zu zeigen, regulär ist.

Dieser Beweis betrachtet also (mit ) die Determinante der -Matrix der Gruppentafel, wobei ihre Einträge, die Automorphismen , als Unbestimmte aufgefasst werden. Da die Substitution die zur Permutation gehörige (unimodulare) Permutationsmatrix liefert, kann ihre Determinante nicht das Nullpolynom sein. Mit einem geeigneten wird also bei der Substitution nicht verschwinden, diese Substitution folglich eine reguläre Matrix liefern, wie gewünscht.

Der nachfolgend dargestellte Beweis von Emil Artin betrachtet Polynome in nur einer Unbestimmten und nutzt dazu die Lagrangeschen Interpolationspolynome mit der Menge der Konjugierten eines primitiven Elements der Galoiserweiterung als Menge der Stützstellen.[Anm 10]

Nach Emil Artin

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Für eine Galoiserweiterung eines unendlichen Grundkörpers vom Grade wird wie folgt argumentiert:[6]

Gemäß Voraussetzungen sei also ein primitives Element, so dass . Sein Minimalpolynom über sei . Gemäß Körpertheorie hat es den Grad , und es gilt . Gemäß Galois-Theorie operiert die Galoisgruppe operiert scharf transitiv auf der Menge der Wurzeln des Minimalpolynoms. Sie sind also paarweise verschieden, können mit bezeichnet werden und sind sämtlich gleichermaßen als primitives Element der Körpererweiterung geeignet.[Anm 11]

Ferner werde die Operation der Gruppe fortgesetzt auf durch für jedes . Damit operiert auf trivial, so dass insbesondere .

Die nun folgende tabellarische Gegenüberstellung soll Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Einzelheiten zweier Beweise verdeutlichen, die Emil Artin bzw. Bartel L. van der Waerden gegeben haben.

Beweis für einen unendlichen Grundkörper
no. Beweis nach Emil Artin Derselbe Beweis mit begrifflichem Hintergrund nach Bartel L. van der Waerden
1 Betrachte .

Dabei gilt:

.
Betrachte den Restklassenring (Siehe auch Faktorring) :[Anm 12] Dieser kann mit dem Tensorprodukt der -Algebren und identifiziert werden.

Bezeichnet nämlich die Klasse der Unbekannten , so bilden eine -Basis und eine -Basis von . Dann ist tatsächlich eine -Basis der Algebra , die sich daher als das Tensorprodukt der -Algebren und auffassen lässt: .[Anm 13]

Daher bilden eine -Basis von und eine -Basis von .


Die Operation der Gruppe auf induziert wegen (also ) eine Operation auf . Auf operiert sie hierbei trivial. Mit anderen Worten: Jeder Automorphismus wird durch das Tensorprodukt von Abbildungen auf fortgesetzt.

2 Es gilt notwendig , denn auf beiden Seiten stehen Polynome,
  • deren Grad höchstens beträgt und
  • die an Stellen übereinstimmen, nämlich auf .
Mit Hilfe der Langrangeschen Interpolation lässt sich eine weitere -Basis von angeben: Da ja alle Wurzeln paarweise verschieden sind, lässt sich jedes Polynom vom Grad in eindeutiger Weise als Linearkombination der Lagrangeschen Interpolations-Polynome vom Grad darstellen: Diese haben nämlich die Eigenschaft, dass (Kronecker-Delta), so dass notwendig für jedes Polynom mit und zwar in eindeutiger Weise. Insbesondere für das konstante Polynom erhält man .

Durch den Übergang zu den Restklassen folgt also . Da jene Polynome mit ganz repräsentieren, so ist , und dabei handelt es sich um eine direkte Summe von Teilräumen[Anm 14], weil die Darstellung eindeutig ist.

3 Für verschwindet das Produkt auf allen Nullstellen von . Daher gilt In gilt nun die Beziehung , die sich im euklidischen Ring als Kongruenz leicht verifizieren lässt: Für gilt zunächst (Begründung siehe links), und …
4 Multipliziert man obige Summenbeziehung mit , so folgt für jedes . … es gilt (Begründung siehe links).
5 Es gilt , wobei . Die Gruppe permutiert die Lagrangeschen Polynome (gemäß ihrer Definition) und folglich auch ihre Nebenklassen in eben derselben Weise, wie sie die Wurzeln permutiert.
6 Die Einträge des Matrizenprodukts aus der quadratischen Matrix und ihrer Transponierten sind demnach in der Hauptdiagonalen gleich , während sie außerhalb der Diagonalen sämtlich modulo verschwinden: .

Um die Matrix wohl zu definieren, müsste die Reihenfolge ihrer Spalten und Zeilen, also die der Elemente festgelegt werden. Da jedoch nur das Verschwinden der Determinante benötigt wird, welche bei Vertauschungen lediglich das Vorzeichen wechselt, möge diese Schreibweise genügen.

Eine Argumentationsvariante an dieser Stelle[Anm 15] besteht in der Feststellung, dass , weil und (Kronecker-Delta). Damit erübrigen sich die Beweisschritte 3 und 4, und anstelle von Beweisschritt 2 genügt die Feststellung .

Tatsächlich zielt dieser Beweisschritt lediglich auf eine Begründung dafür, dass das Polynom nicht identisch verschwindet.[Anm 16]

Für die Teilräume (die „direkten Summanden“) gilt also : Es sind also Ideale. Zudem ist jedes (als isomorphes Bild des Körpers ) selbst ein Körper mit dem Einselement (wobei ). Dabei annullieren sich verschiedene Körper: .

Ebenso sind auch die Teilringe Ideale und (als isomorphe Bilder von ) Körper, die sich gegenseitig annullieren, so dass die Summe der Teilräume notwendig direkt ist und daher aus Dimensionsgründen die gesamte Algebra aufspannt: (als Vektorraum).

Es gilt sogar , denn wählt man in der obigen Lagrangeschen Interpolation die Polynome (mit ), so repräsentieren sie im Übergang ganz und im Übergang ganz . Geht man zu den Restklassen über (), so erhält man: . Multiplikation mit ergibt: . Damit ist die Darstellung ein zweites Mal begründet.

Also bilden die eine Normalbasis von .[Anm 17] Gesucht ist jedoch eine Normalbasis von .

Beachte: Umgekehrt wäre eine Normalbasis von zugleich eine Basis von , und zwar eine Normalbasis, da ja auf trivial operiert.

7 Also ist auch . Es sei nun eine Basis von . Dann ist es zugleich eine Basis von , denn jedes Polynom zerfällt in eine Summe von Polynomen über gemäß ,[Anm 18] und der Übergang zu den Restklassen liefert die Behauptung. Dies gilt insbesondere für die Lagrangeschen Interpolationspolynome , das heißt: Es gibt eine Matrix mit . Im Übergang erhält man . Diese Matrix hat Einträge und ist regulär, da die eine Basis bilden. Also ist , also auch .
8 Nun besitzt als Polynom über höchstens endlich viele Nullstellen. Nun besitzt nur endlich viele Nullstellen in .
9 Da auf trivial operiert, bleiben obige Beziehungen bestehen, wenn für die Unbestimmte Elemente eingesetzt werden. Auf der Transformationsmatrix operiert trivial, wie oben erwähnt.

Diese Tatsache wird aber gar nicht benötigt werden, weil es ein viel eleganteres Argument gibt.

10 Da unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) mit . Ein solches sei nun ausgewählt. Da unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) mit . Ein solches sei nun ausgewählt.
11 Wegen bleibt, wie bereits erwähnt, auch die Beziehung für bestehen. Setzt man , so ist für jedes . Für jedes setze , so dass .
12 Werden nun auf eine Relation (mit ) alle Automorphismen angewendet, so hat das entstehende Gleichungssystem in den Unbekannten die Determinante , kann also (schon in , geschweige denn in ) nur trivial gelöst werden: für jedes . Daher bedeutet , dass die Bahn aus über linear unabhängigen Elementen von besteht. Wegen ist regulär und bildet als Basistransformation die Basis auf eine weitere Basis ab.
13 Also ist die Bahn eine Normalbasis. Also bilden () eine Normalbasis von .

Anwendung auf endliche Grundkörper

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Galoiserweiterungen endlicher Grundkörper sind zyklisch, ihre Galoisgruppe wird vom Frobenius-Homomorphismus erzeugt, wobei eine Potenz der Charakteristik ist. Dabei bezeichne der Grad der Erweiterung und mithin zugleich des Minimalpolynoms .

  • Ist ein primitives Element dieser Körpererweiterung, das heißt gilt , so bilden die Potenzen eine -Basis von .
  • Ist hingegen Erzeugendes einer Normalbasis, so bilden die Potenzen eine Normalbasis von .

Ist also die Bahn eine Normalbasis der Erweiterung vom Grade , so liefert die Koordinatendarstellung zu einem ein -Tupel aus . Die Anwendung des Frobenius-Homomorphismus, also die Potenzierung mit , spiegelt sich in zyklischer Vertauschung dieser Koordinaten wider: Zu gehören die Koordinaten , da (d. h. ).

Tabellarisch:

Dies ist für von Nutzen für die Kryptographie auf elliptischen Kurven: Die Koordinaten sind dann Null oder Eins.

Der Satz von der Existenz einer Normalbasis für eine endliche Galoiserweiterung wurde zunächst für endliche Grundkörper bewiesen:[3][7]

  • 1850: Gotthold Eisenstein bewies den Fall eines Primkörpers : Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, Seiten 180–182.
  • 1850: Theodor Schönemann bewies den Fall einer Erweiterung von Primzahlgrad: Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40, 1850, Seiten 185–187.
  • 1888: Kurt Hensel bewies den Fall eines endlichen Grundkörpers im Allgemeinen: Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103, 1888, Seiten 230–273.

Später wurde der Satz auch für unendliche Grundkörper nachgewiesen:

Nach dem Satz über die Existenz einer Normalbasis nennt man ein Element , dessen Bahn über dem Grundkörper den Erweiterungskörper (als Vektorraum über dem Grundkörper) aufspannt (d. h., ein Erzeuger der Normalbasis ist), ein freies Element über oder freies Element für die Erweiterung .

In Verallgemeinerung des Satzes über die Existenz einer Normalbasis wurde bewiesen, dass es sogar ein vollständig freies Element gibt, d. h. eines, welches zugleich für alle Zwischenerweiterungen jeweils eine Normalbasis von erzeugt: .

Für Erweiterungen endlicher Grundkörper (Galois-Felder) können sogar stets solche Erzeugenden einer Normalbasis gefunden werden, die Elemente von maximaler Ordnung in der multiplikativen Gruppe sind: Diese erzeugen also als -Linksmodul und als -Modul. Dann (und genau dann) teilt jedes Element der Normalbasis diese Eigenschaft. Solche Erzeugenden werden primitiv genannt.[8]

  1. Hintergrund dieser Begriffsbildung war natürlich, dass sie per Galoistheorie korrespondiert mit dem Begriff des Normalteilers aus der Gruppentheorie, ebenso wie die Konjugation: Ist eine Körpererweiterung mit ihren über konjugierten Erweiterungskörpern identisch, so heißt die Erweiterung normal. Ist eine Untergruppe mit ihren in konjugierten Untergruppen identisch, so heißt sie normal in .
  2. Die nun folgende Argumentation entstammt dem Beweis nach Emil Artin, siehe dort den Beweisschritt 12.
  3. Mit Hilfe der Darstellung formuliert gilt also , und der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sagt aus, dass die Bilder der Darstellung über (also erst echt über ) linear unabhängig sind.
  4. Man beachte also den bedeutsamen Unterschied zwischen einer Bahn und der Summe : Ist vollständig frei, so ist Normalbasis von . Ist Normalteiler und frei für , so erzeugt die Spur eine Normalbasis für .
  5. Siehe Hilbertscher Zahlbericht (1897), Satz 131. Einen Beweis allein mit Hilfe der Hilbertschen Verzweigungstheorie gab Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“). 1919, S. 174–188, abgerufen am 10. Januar 2023. – Siehe auch „Kroneckerscher Satz“.
  6. Nur für nicht-kommutative Schiefkörper ist dabei zwischen der Linksmultiplikation und der Rechtsmultiplikation zu unterscheiden. Sowohl als auch (entsprechend) sind wegen injektiv und liefern Einbettungen von -Algebren. Nur für kommutative Körper gilt .
  7. Vielmehr permutiert die Galoisgruppe diese Unterräume untereinander, der linksregulären Darstellung entsprechend.
  8. Diese zyklischen Gruppen sind nach historischem Sprachgebrauch genau die Elementarteiler.
  9. Dass ihr direkter Durchschnitt gleich dem Grundkörper ist, will genau das besagen, was die Galoiskorrespondenz des Hauptsatzes der Galoistheorie für die Fixkörper der direkten zyklischen Untergruppen als ihre „Spiegelbilder“ aussagt, nämlich:
    • Jede Erweiterung ist normal.
    • und
    • für jedes .
    Äquivalent dazu ist, dass das direkte Kompositum der Zwischenkörper ist, wobei , das heißt:
    • Jede Erweiterung ist normal.
    • (Kompositum) und
    • für jedes (Direktheit)
  10. Den Zusammenhang zwischen beiden Beweisen stiftet die Theorie um zyklische Matrizen (auch Zyklanten oder Zirkulanten genannt) und die Vandermonde-Matrix. Sie wirft auch ein Licht darauf, woran genau diese Argumentation bei positiver Charakteristik scheitert.
  11. Zugleich bestimmt jede Substitution eindeutig den zugehörigen Automorphismus , da .
  12. Es ist . In diesem Sinne ist die Schreibweise je nach Zusammenhang als Ideal in oder in zu verstehen.
  13. Dabei wird als bilineare Abbildung natürlich die Multiplikation in zugrunde gelegt, nämlich als Skalarmultiplikation von auf dem -Vektorraum .
  14. Verstünde man diese Beziehung in der Kategorie der Ringe oder -Algebren, so wäre anstelle der direkten Summe der -Teilräumen das Produkt der Teilringe zu notieren.
  15. Dieses Argument bringt Nathan Jacobson in seiner Basic Algebra I, Chater IV.14, S. 284 oben.
  16. Vgl. den obigen Beweis von Serge Lang.
  17. Es ist klar, dass und auf welche Weise hierbei der Begriff Normalbasis auf eine -Algebra ausgeweitet wird.
  18. In Worten: Die Koeffizienten eines jeden Polynoms können mit dieser Basis ausgedrückt werden. Ausklammern der Basiselemente über alle Monome hinweg ermöglicht die Darstellung als Summe von Produkten mit .
  • Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 8. Auflage (der Modernen Algebra) Springer-Verlag, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3.
  • Emil Artin: Linear mappings and the existence of a normal basis. Studies und Essays presented to Richard Courant on his 60th birthday (Interscience Publishers, New York, S. 1 (1948)).
  • Emil Artin: Galoissche Theorie. 3. Auflage. Harri Deutsch, 1988, ISBN 3-8171-1714-0.
    • Deutsche Erstausgabe Teubner 1959.
    • Englische Ausgabe: Galois Theory. Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-62342-4. Online-Version oder Online-Version. Lectures delivered at the University of Notre Dame, edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame, Indiana, 1942 (2. Auflage 1948).
  • Serge Lang: Algebra. Second Edition, Addison-Wesley, 1984.
  • Nathan Jacobson: Algebra I. W. H. Freeman and Company, San Franciso 1974, ISBN 0-7167-0453-6.

Ältere Literatur

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Weiterführende Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Vgl. Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem: Ein solches Element heißt vollständig frei oder komplett frei (engl.: completely free), wenn es zugleich für jede Zwischenerweiterung (wobei also ) eine Normalbasis erzeugt. Tatsächlich gibt es solche komplett freien Elemente. Sie können sogar im Falle endlicher Körper so gewählt werden, dass sie überdies die zyklische multiplikative Gruppe erzeugen. Dann besteht natürlich die gesamte Bahn aus Elementen mit dieser Eigenschaft (primitive Normalbasis). Ein solches Element erzeugt also als einen -Linksmodul und als einen (multiplikativen) -Modul, natürlich erst recht als (multiplikativen) -Modul.
  2. Vgl. Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem: Die Suche nach einem , welches für jede Untergruppe eine Normalbasis für die zugehörige Galoiserweiterung erzeugt, führt auf die Frage nach der Existenz vollständiger Erzeuger oder vollständig freier Elemente . Diese Frage wurde 1986 positiv beantwortet von D. Blessenohl, K. Johnsen in: Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis. J. Algebra, 103 (1986) pp. 141–159.
  3. a b Dieser Abschnitt ist dem französischen Artikel zur Normalbasis gedankt.
  4. Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Kapitel VIII, § 67, S. 208.
  5. Serge Lang: Algebra, Chapter VIII, § 13.
  6. Beweise gemäß Emil Artin: Galoissche Theorie. (Verlag Harri Deutsch, 1965), Abschnitt II.N; und Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. VIII, § 67, S. 205.
  7. Ferner basiert dieser Abschnitt auf Angaben aus dem englischen Artikel zur Normalbasis sowie aus Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem. Abgerufen am 5. Juli 2022 (Autoren: Dieter Jungnickel und Richard Pinch).
  8. Diese Bedeutung dieses (häufig benutzten) Attributs für Erzeugende einer Normalbasis muss also klar unterschieden werden von seiner Bedeutung für einfache Körpererweiterungen und im Satz vom primitiven Element.