Novikov-Vermutung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe .

Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp.

Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.

Sie würde aus der Baum-Connes-Vermutung oder auch der Borel-Vermutung folgen.

Formulierung der Vermutung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine geschlossene, orientierbare, -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe und deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse definiert man eine höhere Signatur durch

,

wobei die L-Klasse von , das Cup-Produkt, die Fundamentalklasse und die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

Bewiesene Fälle

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe bewiesen wurde.

  • S. P. Novikov: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
  • S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
  • M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
  • J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
  • G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.
  2. A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.
  3. I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.
  4. N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.
  5. G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.
  6. G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).
  7. E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.
  8. M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.
  9. U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.