Plancherel-Maß

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In der Mathematik ist das Plancherel-Maß ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches auf der Menge der irreduziblen Darstellungen einer lokalkompakte Gruppe definiert wird.

Das Plancherel-Maß auf halbeinfachen Lie-Gruppen ist ein von Harish-Chandra eingeführtes wichtiges Konzept der Darstellungstheorie von Gruppen.

Definition auf endlichen Gruppen

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Sei die Menge der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe . Das Plancherel-Maß auf ist für eine Darstellung definiert als[1]

Definition auf halbeinfachen Lie-Gruppen

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Sei eine reelle reduktive Gruppe. Betrachte die reguläre Darstellung (durch Links- und Rechtsmultiplikation) von auf , also dem Vektorraum der bezüglich des Haarmaßes quadratisch integrierbaren Funktionen. Dann gibt es eine Integral-Zerlegung

wobei die Dualgruppe (also die Gruppe der Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von ) und ist.

Das durch diese Zerlegung auf der Dualgruppe definierte Maß ist das Plancherel-Maß. Die Zerlegung und damit das Plancherel-Maß wurden explizit von Harish-Chandra beschrieben. Insbesondere bewies er, dass der Träger von im Unterraum der temperierten Darstellungen enthalten ist.

  • Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111

Einzelnachweise

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  1. Alexei Borodin, Andrei Okounov und Grigori Olshanski: Asymptotics of Plancherel measures for symmetric groups. In: Journal of the American Mathematical Society. Band 13, Nr. 3, 2000, S. 481–515, doi:10.1090/S0894-0347-00-00337-4.