Satz von Hörmander

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Der Satz von Hörmander ist ein Theorem aus der Mathematik. Er ist ein Ergebnis aus der stochastischen Analysis (Malliavin-Kalkül) und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz beweist die Existenz einer stetigen Dichte der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung. Er wurde ursprünglich von Lars Hörmander für partielle Differentialgleichungen bewiesen. Im Artikel wird die probabilistische Variante behandelt.[1]

Satz von Hörmander

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Seien Vektorfelder, für die die Hörmander-Bedingung gilt, und sei die Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung

,

wobei das Stratonowitsch-Integral bezeichnet und die -Brownsche Bewegung. Dann hat für die Zufallsvariable eine absolut-stetige Verteilung mit Dichte in .

Hörmander-Bedingung

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Mit bezeichne man Lie-Klammern mit Fréchet-Ableitungen

.

Seien beschränkte Vektorfelder in mit beschränkten Ableitungen jeder Ordnung. Definiere und rekursiv

.

Setze außerdem

und
.

Dann erfüllt die Familie die Hörmander-Bedingung, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.

Einzelnachweise

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  1. Denis R. Bell: The Malliavin calculus. Dover Publications Inc., Mineola, New York 2006, ISBN 0-486-44994-7, S. 73.