Satz von Matsumoto

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Der Satz von Matsumoto ist ein Lemma aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie, er gibt eine explizite Beschreibung für die zweite algebraische K-Theorie eines Körpers an. Der Satz ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Matsumoto Hideya.

Satz von Matsumoto

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Es sei ein Körper und seine zweite algebraische K-Theorie, dann gilt:

.

Anders gesagt: ist isomorph zum Kokern der Dehn-Invariante

Milnors K-Theorie (Historie)

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Motiviert durch den Satz von Matsumoto definierte Milnor die später nach ihm benannte Milnors K-Theorie von Körpern durch

,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe F× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Es gibt eine Abbildung

die für und nach dem Satz von Matsumoto auch für ein Isomorphismus ist.

Für ist jedoch kein Isomorphismus, der Kokern

ist die sogenannte indekomposable K-Theorie, die im Fall von Zahlkörpern gleich ist.

Für ist modulo 2-Torsion zur Bloch-Gruppe isomorph.

  • J. Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. (= Graduate Texts in Mathematics. 147). Springer Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-94248-3.
  • H. Matsumoto: Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. In: Ann.Sci.École Norm.Sup. Serie 4, Band 2, 1969, S. 1–62. (franz.)