Stochastischer Fluss

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Ein stochastischer Fluss bezeichnet in der Mathematik den probabilistischen Begriff des Flusses. Genauer bedeutet dies für eine Indexmenge die Abbildung

welche die Flussgleichungen pfadweise erfüllt. Ein Fluss ist somit ein Zufallsfeld.

Der Begriff findet vor allem Anwendung in der Lösungstheorie der stochastischen Differentialgleichungen. Flüsse werden aber ganz allgemein definiert, ohne den Begriff der Differentialgleichung zu verwenden.

Stochastische Flüsse

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Menge, welche die Zeit eines Systems darstellt.

Als Fluss auf einem Messraum bezeichnet man eine Familie von messbaren Funktionen

so dass für alle die Flussgleichungen

erfüllt sind.

Betrachtet man den Fluss einer Differentialgleichung, so bezeichnet die Lösung dieser Gleichung, welche zum Zeitpunkt in startet.

Setzt man nun einen Wahrscheinlichkeitsraum davor, das heißt man betrachtet einen Messraum und die Zufallsvariablen

so das pfadweise die Flussgleichungen erfüllt sind, dann erhält man einen stochastischen Fluss.

Stochastischer Fluss

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Messraum, sei die Identische Abbildung und oder . Ein stochastischer Fluss ist der Prozess

so dass die Flussgleichungen erfüllt sind, das heißt für alle

Oder äquivalent, definiere für einen Punkt die Abbildung

dann lässt sich der stochastische Flusses auch als Familie von Zufallsfunktionen

auffassen.[1]

Die Flussgleichungen sind in der Schreibweise wie folgt zu verstehen:

Die zum Fluss assoziierte Familie von Prozessen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für definieren wir

dann ist die dem Fluss assoziierte Familie von stochastischen Prozessen.

bezeichnet die Verteilung eines Pfades des stochastischen Flusses.

Brownsche Flüsse

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die für und für alle unabhängig sind, dann nennt man einen brownschen Fluss.[2]

  • Hiroshi Kunita: Lectures on Stochastic Flows and Applications. 1990.
  • Hiroshi Kunita: Stochastic Flows and Jump-Diffusions. Hrsg.: Springer. 2019.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 73.
  2. Hiroshi Kunita: Lectures on Stochastic Flows and Applications. 1990, S. 1.