Subquotient

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In den mathematischen Teilgebieten der Kategorientheorie und der Abstrakten Algebra versteht man unter einem Subquotienten ein Quotientenobjekt eines Unterobjekts.

In der Sprache der Gruppentheorie ist ein Unterobjekt eine Untergruppe und ein Quotientenobjekt eine Quotientengruppe (auch Faktorgruppe genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe isomorph zum Bild einer Untergruppe von unter einem Gruppenhomomorphismus. Und wie beim Begriff der Untergruppe werden selbst und die einelementige Gruppe als triviale Subquotienten angesehen.

Der Begriff Subquotient findet Anwendung u. a. bei der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, insbesondere bei den sporadischen Gruppen.

Ist eine Gruppe, eine Untergruppe von und ein Normalteiler von , in Zeichen

dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) einen Subquotienten von .

In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie

  1. involviert [1]
  2. ist involviert in [2]

für denselben Sachverhalt.

Sei ein Ring mit Einselement. Bei den -Moduln gibt es -Untermoduln und -Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die -Subquotienten definiert.

Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.

Eigenschaften und Beispiele

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  • Die einfache alternierende Gruppe vom Grad 5 hat die nicht-einfache alternierende Gruppe vom Grad 4 zum Subquotienten (zur Untergruppe).
  • Ein Unterobjekt von wie auch ein (homomorphes) Bild von ist ein Subquotient von

Endliche Objekte

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Haben alle Objekte endliche Kardinalitäten, dann gibt es Formeln, die diese mit Indices in Beziehung bringen, siehe zum Beispiel den Satz von Lagrange. Wegen gilt mit obigen Bezeichnungen

und ist insbesondere ein Teiler von sowie

Für endliche Objekte ist die Relation »ist Subquotient von« eine Ordnungsrelation, und zwar eine Halbordnung.

ist Subquotient von .

Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie isomorph.

Beweis

Die Wechselbeziehung zwischen und lässt sich wegen , also , nur aufrechterhalten mit und , woraus folgt.

Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.

Beweis für Gruppen

Sei Subquotient von und der kanonische Homomorphismus. Ist nun also Subquotient von dann sind die durch senkrechte Pfeile () gekennzeichneten Abbildungen

surjektiv für jedes der Paare

Nun sind die Urbilder und Untergruppen von die enthalten. Ferner ist und da alle ein Urbild in haben. Überdies ist ein Normalteiler von Damit ist der Subquotient von als ein Subquotient von [3]

Diskrete Ordnung

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Die Ordnungsrelation »ist Subquotient von« ist bei endlichen Gruppen eine diskrete Ordnung, d. h. die von ihr erzeugte Ordnungstopologie ist eine diskrete Topologie. In Formeln und mit und als Relationszeichen:

Ist dann gibt es ein mit derart, dass

Ein solches nennt man einen maximalen echten Subquotienten von . Der Begriff wird bspw. bei der Anordnung der sporadischen Gruppen im Hasse-Diagramm benötigt.

Einzelnachweise

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  1. Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19 (Memento vom 26. Juni 2013 im Internet Archive)
  2. Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
  3. Die Noether'schen Isomorphie-Sätze