Weylsche Integralformel

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In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.

Sei eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, ein maximaler Torus und eine stetige Funktion. Dann ist

,

wobei die Weyl-Gruppe von und die Einschränkung der adjungierten Darstellung auf den ersten Summanden der -invarianten Zerlegung bedeutet.

Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion

,

man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.

Es gilt

,

wobei vom Eigenwertproblem abhängt.

Für ergibt sich

,

wobei die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist .

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch

definierten Abbildung

,

nämlich

für den Abbildungsgrad und

für die Determinante des Differentials von .

  • T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
  • M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.