Bernoulli-Dreieck

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Ableitung des Bernoulli-Dreiecks (blauer fetter Text) vom Pascal-Dreieck (rosa kursiv)

Das Bernoulli-Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung von Partialsummen der Binomialkoeffizienten . Der Name geht auf den Mathematiker Jakob I Bernoulli zurück.[1]

Für jede nicht negative ganze Zahl und für jede ganze Zahl zwischen und ist die -te Zeile und -te Spalte des Bernoulli-Dreiecks gegeben durch die Summe der ersten Binomialkoeffizienten -ter Ordnung:

Die ersten Zeilen des Bernoulli-Dreiecks lauten:

Ähnlich wie beim Pascalschen Dreieck ist jede Stelle im Bernoulli-Dreieck die Summe von zwei Stellen der vorherigen Zeile, mit Ausnahme der letzten Zahl jeder Zeile, die das Doppelte der letzten Zahl der vorherigen Zeile ist. Sei zum Beispiel das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte. Dann gilt:

Folgen aus der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences im Bernoulli-Dreieck

Die Spalten des Bernoulli-Dreiecks ergeben spezielle Zahlenfolgen (wobei, falls es noch keine Zahl in dieser Spalte gibt, die ganz rechten Werte aus den oberen Zeilen genommen werden):

  • Die erste Spalte ganz links ergibt die triviale Einerfolge, es ist :
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … (Folge A000012 in OEIS)
  • Die zweite Spalte von links ergibt die Folge der natürlichen Zahlen, es ist :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (Folge A000027 in OEIS)
  • Die dritte Spalte von links ergibt die Folge der Dreieckszahlen plus Eins, es ist . Dies ist auch die Folge der zentralpolygonalen Zahlen (auch Zahlenfolge des faulen Kellners genannt (vom englischen Lazy caterer's sequence)):
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …(Folge A000124 in OEIS)
  • Die vierte Spalte von links ergibt die Folge der Kuchenzahlen (vom englischen cake number), es ist :
1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, … (Folge A000125 in OEIS)
  • Die fünfte Spalte von links ergibt die Zahlenfolge, die die maximale Anzahl von Regionen angibt, die durch Verbinden von Punkten um einen Kreis durch gerade Linien erhalten werden können, es ist also .[2] Alternativ gibt die fünfte Spalte auch die maximale Anzahl von Regionen im vierdimensionalen Raum an, die man durch dreidimensionale Hyperebenen bilden kann (beginnend mit ):
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, … (Folge A000127 in OEIS)
  • Im Allgemeinen gibt die -te Spalte die maximale Anzahl von Regionen im -dimensionalen Raum an, die durch -dimensionale Hyperebenen gebildet werden (beginnend mit ).
Zum Beispiel bedeutet das für die -te Spalte die maximale Anzahl von Regionen im -dimensionalen Raum, die durch -dimensionale Hyperebenen gebildet werden (beginnend mit ).
1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, … (Folge A006261 in OEIS)
Beispiel:
An der achten Stelle (also bei ) dieser sechsten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also und somit ) steht die Zahl 120. Man kann somit im fünfdimensionalen Raum vierdimensionale Hyperebenen so legen, dass der fünfdimensionale Raum in 120 Teilräume (Regionen) zerfällt.
  • Die -te Spalte gibt auch die Anzahl der Kompositionen von in oder weniger Teile an (also die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl in die Summe von oder weniger natürliche Zahlen zu zerlegen), wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Beispiel 1:
Man betrachte zum Beispiel die -te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (Folge A000027 in OEIS)
An der fünften Stelle (also bei ) dieser zweiten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ) steht die Zahl 5. Es gibt also 5 Möglichkeiten, die Zahl in oder weniger Teile zu zerlegen. Diese Möglichkeiten lauten:
5 = 5 = 1+4 = 4+1 = 2+3 = 3+2
Beispiel 2:
Man betrachte zum Beispiel die -te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …(Folge A000124 in OEIS)
An der fünften Stelle (also bei ) dieser dritten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ) steht die Zahl 11. Es gibt also 11 Möglichkeiten, die Zahl in oder weniger Teile zu zerlegen. Diese Möglichkeiten lauten:
5 = 5 = 1+4 = 4+1 = 2+3 = 3+2 = 1+1+3 = 1+3+1 = 3+1+1 = 1+2+2 = 2+1+2 = 2+2+1
Beispiel 3:
Man betrachte zum Beispiel die -te Spalte des Bernoulli-Dreiecks:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1013, 1981, 3797, 7099, 12911, 22819, 39203, 65536, … (Folge A008861 in OEIS)
An der zehnten Stelle (also bei ) dieser neunten Spalte des Bernoulli-Dreiecks (es ist also ) steht die Zahl 511. Es gibt also 511 Möglichkeiten, die Zahl in oder weniger Teile zu zerlegen. Die einzige Möglichkeit, die nicht gezählt wird, ist , weil hier die Zahl in 10 Summanden aufgeteilt wird, aber nur maximal 9 erlaubt sind.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … (Folge A000045 in OEIS)
Man erhält diese Fibonacci-Folge ab ihrem 3. Wert im Bernoulli-Dreieck auf die folgende Art und Weise:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 - - - - - - - - -
1 1 2 - - - - - - - -
2 1 3 4 - - - - - - -
3 1 4 7 8 - - - - - -
4 1 5 11 15 16 - - - - -
5 1 6 16 26 31 32 - - - -
6 1 7 22 42 57 63 64 - - -
7 1 8 29 64 99 120 127 128 - -
8 1 9 37 93 163 219 247 255 256 -
9 1 10 46 130 256 382 466 502 511 512
so erhält man die Fibonacci-Zahlen

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Robert Booth, Hieu D. Nguyen: Bernoulli Polynomials and Pascal's Square. (PDF) Fibonacci Quarterly, 46/47, 2008, S. 38–47, abgerufen am 24. November 2022.
  2. Richard K. Guy: The Strong Law of Small Numbers. (PDF) American Mathematical Monthly 95 (8), 1988, S. 697–698, 706, abgerufen am 24. November 2022 (Example 5).
  3. Denis Neiter, Amsha Proag: Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers. (PDF) Journal of Integer Sequences 19, 2016, S. 1–21, abgerufen am 24. November 2022 (Abschnitt 3.1).