Kuchenzahl

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Einen Kuchen kann man mit nur 4 Schnitten in 15 Stücke zerschneiden (entsprechend der 5. Kuchenzahl ). Diese Animation zeigt die Schnittebenen. Vierzehn der Stücke haben eine äußere Oberfläche, in der Mitte wird ein Tetraeder herausgeschnitten.

In der Mathematik nennt man eine Zahl Kuchenzahl (englisch Cake number), wenn sie die maximale Anzahl von Regionen angibt, in die ein dreidimensionaler Würfel durch genau Ebenen unterteilt werden kann. Die Zahl heißt so, weil man sich jede Teilung des Würfels durch eine Ebene als einen mit einem Messer geschnittenen Schnitt durch einen würfelförmigen Kuchen vorstellen kann. Es ist das 3D-Analogon der Zahlenreihe des faulen Kellners (auch zentralpolygonale Zahlen genannt).

Formel zur Berechnung von Kuchenzahlen

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Angenommen, es stehen Ebenen zur Verfügung, um den Würfel zu teilen. Dann ist die -te Kuchennummer:[1]

Dabei ist die Fakultät und der Binomialkoeffizient.

Die kleinsten Kuchenzahlen mit lauten:

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, … (Folge A000125 in OEIS)
  • Die einzige prime Kuchenzahl ist .
Beweis:
Es ist . Damit ganzzahlig ist, muss durch teilbar, also ein Vielfaches von sein. Wenn zusätzlich prim sein soll, muss sein, wobei eine Primzahl ist.
Es ist als Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl immer gerade. Zählt man dazu, bleibt die Zahl gerade. Es ist also, wenn prim sein soll, immer eine gerade Zahl der Form , , oder . Man betrachte alle möglichen vier Fälle von :
Fall 1:
Es ist . Die quadratische Gleichung hat die Lösungen und hat somit keine reellen Lösungen. Somit existiert dieser Fall nicht.
Fall 2:
Es ist . Die quadratische Gleichung hat die Lösungen und . Es ist keine Primzahl und die bisher erste (und auch letzte) gefundene prime Kuchenzahl.
Fall 3:
Unter dieser Voraussetzung muss, weil ist, sein. Somit ist . Es ist aber keine Primzahl.
Fall 4:
Unter dieser Voraussetzung muss, weil ist, sein. Somit ist . Es ist aber keine Primzahl.
Da es nicht mehr Möglichkeiten für gerade gibt, sodass und in weiterer Folge prim ist, bleibt die einzige Primzahl.
  • Die Kuchenzahlen sind das dreidimensionale Analogon der zweidimensionalen zentralpolygonalen Zahlen. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Kuchenzahlen ergibt eben diese zentralpolygonalen Zahlen.[1]
Beweis:
Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Es wird bewiesen, dass die Aussage für die kleinste Differenz, den Startwert, gilt.
, die erste zentralpolygonale Zahl für .
, die zweite zentralpolygonale Zahl für . Die Aussage gilt somit auch für die zweitkleinste Differenz.
Induktionsschritt: Es wird angenommen, dass die Aussage für gilt. Es muss gezeigt werden, dass sie auch für gilt. Ist dies der Fall, ist die Aussage bewiesen.
, die -te zentralpolygonale Zahl.
Somit ist die Aussage bewiesen.
  • Die vierte Spalte des Bernoulli-Dreiecks (für ) gibt die Kuchenzahlen für n Schnitte an.
n k 0 1 2 3 Summe
1 1 - - - 1
2 1 1 - - 2
3 1 2 1 - 4
4 1 3 3 1 8
5 1 4 6 4 15
6 1 5 10 10 26
7 1 6 15 20 42
8 1 7 21 35 64
9 1 8 28 56 93
10 1 9 36 84 130

Einzelnachweise

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  1. a b Akiwa Jaglom, Isaak Jaglom: Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. Vol. 1. (PDF) Dover Publications, 1987, S. 104–105, abgerufen am 20. November 2022.
  2. COMMENTS der Folge A000125 in OEIS