Durchschnittliche Größenordnung

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In der Zahlentheorie bezeichnet die durchschnittliche Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere Funktion, die „im Mittel“ dieselben Werte annimmt.[1][2]

Es sei eine zahlentheoretische Funktion. Man sagt, die durchschnittliche Größenordnung von ist , wenn für die asymptotische Gleichheit

gilt. Es ist üblich, eine Näherungsfunktion zu wählen, die stetig und monoton ist. Aber auch damit ist sie keineswegs eindeutig bestimmt.

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r2(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r4(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von r8(n)
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ1
Werte und durchschnittliche Größenordnung von ω und Ω

Die durchschnittliche Größenordnung der Quadratsummen-Funktion bestimmt man aus der Summe[3]

.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich (mit der Landau’schen O-Notation) rekursiv ableiten

,

wobei die Konstanten die Volumina der -dimensionalen Einheitskugeln sind:

Die durchschnittliche Größenordnung von ist damit , also z. B. .

Weitere Beispiele

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  • Die durchschnittliche Größenordnung der Eulerschen Phi-Funktion ist .
  • Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ist . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten
.
  • Die durchschnittliche Größenordnung der Teilerfunktion für ist mit der Riemannschen Zetafunktion .
  • Die durchschnittliche Größenordnung der Ordnung , also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von wie auch von als Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ist . Genauer gilt (Satz von Hardy und Ramanujan)
mit den Konstanten (Mertens-Konstante) und
Für beide Funktionen sind außerdem durchschnittliche und normale Größenordnung gleich.
  • Der Primzahlsatz ist äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Mangoldtfunktion gleich ist.

Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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  1. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 132.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 300.
  3. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197.