Normale Größenordnung

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In der Zahlentheorie ist die normale Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere oder besser verstandene Funktion, die „im Allgemeinen“ dieselben oder angenäherte Werte annimmt.[1][2]

Es sei eine Funktion über den natürlichen Zahlen. Man sagt, ist von der normalen Größenordnung , wenn für jedes die Ungleichung

für "fast alle" erfüllt ist. Damit ist hier gemeint, dass die asymptotische Dichte der Zahlen, die ihr genügen, gleich 1 ist: Wenn also als Anzahl dieser Zahlen im Intervall definiert wird, ist für jedes der Grenzwert .

Üblicherweise benutzt man Näherungsfunktionen , die stetig und monoton sind.

Natürlich besitzt nicht jede zahlentheoretische Funktion eine normale Größenordnung. So hat z. B. die Funktion

( gerade), ( ungerade) keine normale Größenordnung (sie hat aber die durchschnittliche Größenordnung .)
Werte und normale Größenordnung von ω(n) und Ω(n)
Werte und normale Größenordnung von ln (d(n))
  • Die normale Größenordnung der Ordnung von , also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von , als auch von als Zahl der verschiedenen Primfaktoren, ist und ist damit auch gleich ihrer durchschnittlichen Größenordnung (Satz von Hardy und Ramanujan).
    Da die Funktion sehr langsam wächst, bedeutet das, dass z. B. eine Zahl in der Nähe von (näherungsweise die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum) im Allgemeinen aus 5 oder 6 Primfaktoren zusammengesetzt ist.
  • Die normale Größenordnung des Logarithmus der Teileranzahlfunktion ist (Hardy/Ramanujan). Das heißt, für beliebiges besteht die Ungleichung
    für fast alle .

Einzelnachweise

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  1. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 145.
  2. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 404.