Pughs Schließungslemma

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In der Theorie dynamischer Systeme besagt Pughs Schließungslemma, dass ein dynamisches System mit nichtwandernden Punkten in der -Topologie beliebig gut durch dynamische Systeme mit periodischen Orbiten approximiert werden kann. Es wurde von Charles C. Pugh bewiesen.

Es ist eine offene Frage, ob dies auch in der -Topologie gilt (10. Smalesches Problem). René Thom hatte vor Pugh einen fehlerhaften Beweis veröffentlicht (den Fehler fand Mauricio Peixoto).[1]

10. Smalesches Problem

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Sei ein -Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit und ein nichtwandernder Punkt von .

Eines der Smaleschen Probleme fragt, ob es in der -Topologie beliebig nahe zu liegende -Diffeomorphismen gibt, für die ein periodischer Punkt ist.

Es soll also zu jedem einen -Diffeomorphismus geben, so dass

und

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie für ein ist.

Diese Frage ist ein offenes Problem. Bewiesen ist nur das folgende Schließungslemma von Pugh, welches lediglich die Approximierbarkeit in der -Topologie garantiert.

Pughsches Schließungslemma

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Sei ein -Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit und ein nichtwandernder Punkt von .

Das Schließungslemma von Pugh besagt, dass es in der -Topologie beliebig nahe zu liegende -Diffeomorphismen gibt, für die ein periodischer Punkt ist.

Es gibt also zu jedem einen -Diffeomorphismus , so dass

und

(für eine beliebig gewählte Riemannsche Metrik) sowie für ein ist.

  • Pugh, Charles C. (1967). "An Improved Closing Lemma and a General Density Theorem". American Journal of Mathematics 89 (4): 1010–1021.
  • Smale, Steve (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". Mathematical Intelligencer 20 (2): 7–15.

Einzelnachweise

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  1. Smale, Mathematical problems for the next century, Mathematical Intelligencer, 1998, Nr. 2. Nach Smale bezeichnete Thom dies als seinen größten Irrtum.